Hvordan konverteres r = 7 / (5-5costheta) til rektangulær form?

Svar:

Det er den sidelæns parabola # 70 x = 25 y ^ 2 - 49. #

Forklaring:

Denne ene er interessant, fordi den bare divergerer; mindste af nævneren er nul. Det er en konisk sektion; den lige divergerende tror jeg gør det til en parabola. Det betyder ikke meget, men det fortæller os, at vi kan få en god algebraisk form uden trig-funktioner eller firkantede rødder.

Den bedste tilgang er sorta baglæns; vi bruger polar til rektangulære substitutioner, når det ser ud til at den anden vej ville være mere direkte.

#x = r cos theta #

#y = r sin theta #

Så # x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 (cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta) = r ^ 2 #

# r = 7 / {5 - 5 cos theta} #

Vi ser #R> 0. # Vi begynder med at rydde fraktionen.

# 5 r - 5 r cos theta = 7 #

Vi har en #r cos theta # så det er det #x.#

# 5 r - 5 x = 7 #

# 5r = 5 x + 7 #

Vores første observation var #r> 0 # så kvadrering er ok.

# 25 r ^ 2 = (5x + 7) ^ 2 #

Nu erstatter vi igen.

# 25 (x ^ 2 + y ^ 2) = (5x + 7) ^ 2 #

Teknisk har vi besvaret spørgsmålet på dette tidspunkt, og vi kunne stoppe her. Men der er stadig algebra at gøre, og forhåbentlig en belønning i slutningen: måske kan vi vise, at dette faktisk er en parabola.

# 25 x ^ 2 + 25 y ^ 2 = 25x ^ 2 + 70 x + 49 #

# 25 y ^ 2 - 49 = 70 x #

# x = 1/70 (25 y ^ 2 - 49) = 1/70 (5y-7) (5y + 7) #

graf {x = 1/70 (25y ^ 2 - 49) -17,35, 50, -30,30}

Ja, det er en parabola, der roteres # 90 ^ circ #fra den sædvanlige orientering.

Check: Alpha eyball