Hvad er Infinity? + Eksempel

Svar:

Dette kan ikke besvares uden kontekst. Her er nogle af anvendelserne i matematik.

Forklaring:

Et sæt har uendelig kardinalitet, hvis den kan kortlægges en-til-en på en ordentlig delmængde af sig selv. Dette er ikke brugen af uendelig i calculus.

I Calculus bruger vi "uendelig" på 3 måder.

Interval notation:

Symbolerne # Oo # (henholdsvis # -Oo #) bruges til at indikere, at et interval ikke har et højre (henholdsvis venstre) endepunkt.

Intervallet # (2, oo) # er det samme som sæt #x#

Uendelige grænser

Hvis en grænse ikke eksisterer fordi som #x# tilgange #en#, værdierne for #F (x) # øge uden bundet, så skriver vi #lim_ (xrarra) f (x) = oo #

Bemærk at udtrykket "uden bundet" er signifikant. Nubrene:

#1/2, 3/4, 7/8, 15/16, 31/32, 63/64… # er stigende, men afgrænset ovenfor. (De kommer aldrig til eller passerer #1#.)

Grænser ved uendelig

Udtrykket "grænsen ved uendelighed" bruges til at indikere, at vi har spurgt, hvad der sker med #F (x) # som #x# øges uden bundet.

Eksempler indbefatter

Grænsen som #x# stiger uden bundet af # X ^ 2 # eksisterer ikke fordi, som #x# øges uden bundet # X ^ 2 # øges også uden bundet.

Dette er skrevet #lim_ (xrarr00) x ^ 2 = oo # og vi læser det ofte

"Grænsen som #x# går til uendelig, af # X ^ 2 # er uendelig"

Grænsen #lim_ (xrarroo) 1 / x = 0 # indikerer, at

som #x# øges uden bundet # 1 / x # tilgange #0#.

Svar:

Det afhænger af konteksten …

Forklaring:

#bb + - # Uendelig og grænser

Overvej sættet med rigtige tal # RR #, ofte afbildet som en linje med negative tal til venstre og positive tal til højre. Vi kan tilføje to punkter, der hedder # + Oo # og # -Oo # det fungerer ikke helt som tal, men har følgende egenskab:

#AA x i RR, -oo <x <+ oo #

Så kan vi skrive #lim_ (x -> + oo) # at betyde grænsen som #x# bliver mere og mere positiv uden øvre grænse og #lim_ (x -> - oo) # at betyde grænsen som #x# bliver mere og mere negativ uden bunden.

Vi kan også skrive udtryk som:

#lim_ (x-> 0+) 1 / x = + oo #

#lim_ (x-> 0-) 1 / x = -oo #

… hvilket betyder at værdien af # 1 / x # øges eller falder uden bundet som #x# tilgange #0# fra 'højre' eller 'venstre'.

Så i disse sammenhænge # + - oo # er virkelig stenografi for at udtrykke betingelser eller resultater af begrænsende processer.

Uendelig som en færdiggørelse af # RR # eller # CC #

Projektlinjen # RR_oo # og Riemann sfære # CC_oo # dannes ved at tilføje et enkelt punkt, der hedder # Oo # til # RR # eller # CC # - "punkt ved uendelig".

Vi kan så udvide definitionen af funktioner som #f (z) = (az + b) / (cz + d) # at være kontinuert og veldefineret på hele # RR_oo # eller # CC_oo #. Disse Möbius-transformationer fungerer særligt godt # C_oo #, hvor de kortlægger cirkler til cirkler.

Uendelig i Set Teori

Størrelsen (Kardinalitet) af sæt af heltal er uendelig, kendt som tæller uendelighed. Georg Cantor fandt ud af, at antallet af reelle tal er strengt større end denne tællelige uendelighed. I sætteori er der en hel overflod af uendelige stigende størrelser.

Uendelig som et tal

Kan vi faktisk behandle uendigheder som tal? Ja, men tingene virker ikke som du forventer hele tiden. For eksempel kan vi med glæde sige # 1 / oo = 0 # og # 1/0 = oo #, men hvad er værdien af # 0 * oo? #

Der er talesystemer, der omfatter uendelige og uendelige (uendeligt små tal). Disse giver et intuitivt billede af resultaterne af grænseprocesser som differentiering og kan behandles stringent, men der er ganske mange faldgruber at undgå.