Bevis at strømforsyningen er et felt?

Svar:

Et sæt er en kommutativ ring under de naturlige operationer af forening og skæringspunkt, men ikke et felt under disse operationer, da det mangler inverse elementer.

Forklaring:

Givet noget sæt # S #, overvej strømforsyningen # 2 ^ S # af # S #.

Dette har naturlige operationer af fagforening # Uu # som opfører sig som tilsætning med en identitet # O / # og skæringspunktet # Nn # som opfører sig som multiplikation med en identitet # S #.

Mere detaljeret:

• # 2 ^ S # er lukket under # Uu #

  Hvis #A, B i 2 ^ S # derefter #A uu B i 2 ^ S #

• Der er en identitet # O / i 2 ^ S # til # Uu #

  Hvis #A i 2 ^ S # derefter #A uu O / = O / uu A = A #

• # Uu # er associativ

  Hvis #A, B, C i 2 ^ S # derefter #A uu (B uu C) = (A uu B) uu C #

• # Uu # er kommutativ

  Hvis #A, B i 2 ^ S # derefter #A uu B = B uu A #

• # 2 ^ S # er lukket under # Nn #

  Hvis #A, B i 2 ^ S # derefter #A nn B i 2 ^ S #

• Der er en identitet #S i 2 ^ S # til # Nn #

  Hvis #A i 2 ^ S # derefter #A nn S = S nn A = A #

• # Nn # er associativ

  Hvis #A, B, C i 2 ^ S # derefter #A nn (B nn C) = (A nn B) nn C #

• # Nn # er kommutativ

  Hvis #A, B i 2 ^ S # derefter #A nn B = B nn A #

• # Nn # er venstre og højre fordelende over # Uu #

  Hvis #A, B i 2 ^ S # derefter #A nn (B uu C) = (A nn B) uu (A nn C) #

  og # (A uu B) nn C = (A nn C) uu (B nn C) #

Så # 2 ^ S # opfylder alle de aksiomer, der kræves for at være en kommutativ ring med tilsætning # Uu # og multiplikation # Nn #.

Hvis #S = O / # derefter # 2 ^ S # har et element, nemlig # O / #, så det undlader at have forskellige additiv og multiplikative identiteter og er derfor ikke et felt.

Ellers bemærke det # S # har ingen omvendt under # Uu # og # O / # har ingen omvendt under # Nn #. Så # 2 ^ S # danner ikke et felt på grund af manglende inverse elementer.