Hvis du forsøger at bestemme konvergensen af
Hvis
Hvis
Denne test er meget intuitiv, da alt det siger er, at hvis de større serier kommer sammen, så konvergerer de mindre serier også, og hvis de mindre serier afviger, divergerer de større serier.
Ved hjælp af definitionen af konvergens, hvordan viser du at sekvensen {5+ (1 / n)} konvergerer fra n = 1 til uendelig?
Lad: a_n = 5 + 1 / n derefter for enhver m, n i NN med n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) som n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n og som 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Giv et rigtigt tal epsilon> 0, vælg derefter et helt tal N> 1 / epsilon. For et helt tal m, n> N har vi: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon, der beviser Cauchys tilstand for konvergens af en sekvens.
Ved hjælp af definitionen af konvergens, hvordan viser du at sekvensen {2 ^ -n} konvergerer fra n = 1 til uendelig?
Brug egenskaberne af den eksponentielle funktion til at bestemme N, såsom | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon for hver m, n> N Definitionen af konvergensstilstande, at {a_n} konvergerer hvis: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon Så givet epsilon> 0 tager N> log_2 (1 / epsilon) og m, n> N med m <n Som m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 så | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1 - 2 ^ (mn)) Nu som 2 ^ x er altid positiv, (1-2) (mn)) <1, så 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) Og da 2 ^ (
Hvad er forskellen mellem en uendelig sekvens og en uendelig serie?
En uendelig rækkefølge er en ordnet liste med tal med et uendeligt antal numre. En uendelig serie kan betragtes som summen af en uendelig sekvens.