Hvad er den direkte sammenligningstest for konvergens af en uendelig serie?

Hvis du forsøger at bestemme konvergensen af #SUM {a_n} #, så kan du sammenligne med #sum b_n # hvis konvergens er kendt.

Hvis # 0 leq a_n leq b_n # og #sum b_n # Konvergerer, så #sum a_n # Konvergerer også.

Hvis #a_n geq b_n geq 0 # og #sum b_n # divergerer derefter #sum a_n # også divergerer.

Denne test er meget intuitiv, da alt det siger er, at hvis de større serier kommer sammen, så konvergerer de mindre serier også, og hvis de mindre serier afviger, divergerer de større serier.

Ved hjælp af definitionen af konvergens, hvordan viser du at sekvensen {5+ (1 / n)} konvergerer fra n = 1 til uendelig?

Lad: a_n = 5 + 1 / n derefter for enhver m, n i NN med n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) som n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n og som 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Giv et rigtigt tal epsilon> 0, vælg derefter et helt tal N> 1 / epsilon. For et helt tal m, n> N har vi: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon, der beviser Cauchys tilstand for konvergens af en sekvens.

Ved hjælp af definitionen af konvergens, hvordan viser du at sekvensen {2 ^ -n} konvergerer fra n = 1 til uendelig?

Brug egenskaberne af den eksponentielle funktion til at bestemme N, såsom | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon for hver m, n> N Definitionen af konvergensstilstande, at {a_n} konvergerer hvis: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon Så givet epsilon> 0 tager N> log_2 (1 / epsilon) og m, n> N med m <n Som m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 så | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1 - 2 ^ (mn)) Nu som 2 ^ x er altid positiv, (1-2) (mn)) <1, så 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) Og da 2 ^ (

Hvad er forskellen mellem en uendelig sekvens og en uendelig serie?

En uendelig rækkefølge er en ordnet liste med tal med et uendeligt antal numre. En uendelig serie kan betragtes som summen af en uendelig sekvens.