Svar:
De 3 rødder er # x = -3 / 2, 1, 3/2 #
Bemærk Jeg kan ikke finde symbolet for lang division, så jeg vil bruge kvadratrodsymbolet på det sted.
Forklaring:
#F (x) = 4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9 #
#F (1) = 4 * 1 ^ 3-4 * 1 ^ 2-9 * 1 + 9 = 4-4-9 + 9 = 0 #
Dette betyder at x = 1 er en rod og # (X-1) # er en faktor af dette polynom.
Vi skal finde de andre faktorer, vi gør dette ved at dividere f (x) af # (X-1) # at finde andre faktorer.
# {4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9} / {x-1} #
# (X-1) sqrt (4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9) #
Siden # (X * 4x ^ 2) = 4x ^ 3 # vi får # 4x ^ 2 # som et udtryk i faktoren
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4x ^ 2 #
# (X-1) sqrt (4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9) #
vi skal finde resten for at finde hvad der ellers skal findes.
Det gør vi # 4x ^ 2 * (x-1) = 4x ^ 3-4x ^ 2 #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4x ^ 2 #
# (X-1) sqrt (4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9) #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4x ^ 3-4x ^ 2 #
Vi trækker dette fra for at få 0
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4x ^ 2 #
# (X-1) sqrt (4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9) #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #ul {- (4x ^ 3-4x ^ 2)} #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ## # # # # 0x ^ 3-0x ^ 2 #
dette nul betyder at der ikke er noget lineært udtryk vi og bringe ned de næste vilkår.
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4x ^ 2 + 0 x #
# (X-1) sqrt (4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9) #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #ul {- (4x ^ 3-4x ^ 2)} #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 0x ^ 3-0x ^ 2 # # -9x + 9 #
# x * -9 = -9x # så det næste udtryk er #-9#
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4x ^ 2 + 0 x -9 #
# (X-1) sqrt (4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9) #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #ul {- (4x ^ 3-4x ^ 2)} #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 0x ^ 3-0x ^ 2 # # -9x + 9 #
# -9 * (x-1) = - 9x + 9 #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4x ^ 2 + 0 x -9 #
# (X-1) sqrt (4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9) #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #ul {- (4x ^ 3-4x ^ 2)} #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 0x ^ 3-0x ^ 2 # # -9x + 9 #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #ul {- (- 9x + 9)} #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4x ^ 2 + 0 x -9 #
# (X-1) sqrt (4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9) #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #ul {- (4x ^ 3-4x ^ 2)} #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 0x ^ 3-0x ^ 2 # # -9x + 9 #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #ul {- (- 9x + 9)} #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #0#
Så # (x-1) (4x ^ 2 -9) # uden påmindelse (du kan tjekke dette ved at gøre udvidelsen). Vi er nødt til at faktor dette helt.
# (4x ^ 2 -9) # er en forskel på kvadrater med faktorer # (2x-3) * (2x + 3) #
Vi har # (x-1) * (2x-3) * (2x + 3) = 0 #
# 2x-3 = 0 # giver os en rod på # X = A3 / 2 # og # 2x + 3 = 0 # giver os en rod på # X = -3/2 #
Rødderne er # x = -3 / 2, 1, 3/2 #
