Hvad er ekstremiteten af f (x) = 3x ^ 2 - 12x + 13 på [-oo, oo]?

Svar:

#F (x) # har et minimum på # X = 2 #

Forklaring:

Før du går videre, bemærk at dette er en opadvendt parabola, hvilket betyder, at vi uden yderligere beregning kan kende, at det ikke vil have nogen maksima og et enkelt minimum ved dets toppunkt. Afslutningen af pladsen ville vise os det #f (x) = 3 (x-2) ^ 2 + 1 #, hvilket giver vertexet, og dermed det eneste minimum, på #x = 2 #. Lad os se, hvordan dette ville ske med calculus.

Enhver ekstrem vil forekomme enten på et kritisk punkt eller ved et slutpunkt af det givne interval. Som vores givne interval på # (- oo, oo) # er åben, kan vi ignorere muligheden for endepunkter, og derfor vil vi først identificere funktionens kritiske punkter, det vil sige det punkt, hvor derivatet af funktionen er #0# eller eksisterer ikke.

#f '(x) = d / dx (3x ^ 2-12x + 13) = 6x-12 #

Indstilling dette er lig med #0#, finder vi et kritisk punkt på # X = 2 #

# 6x-12 = 0 => x = 12/6 = 2 #

Nu kan vi enten teste for at se om det er ekstremt (og hvilken type) ved at tjekke nogle værdier af # F # omkring det punkt, eller ved at bruge den anden afledte test. Lad os bruge sidstnævnte.

# (d ^ 2x) / (dx ^ 2) = d / dx (6x-12) = 6 #

Som #f '' (2) = 6> 0 #, den anden afledte test fortæller os det #F (x) # har et lokalt minimum på # X = 2 #

Således ved anvendelse af #F '(x) # og #F '' (x) #, finder vi det #F (x) # har et minimum på # X = 2 #, der matcher det resultat, vi fandt ved hjælp af algebra.