Hvad er ligningen af parabolen, der har et vertex ved (7, 9) og går gennem punkt (0, 2)?

Svar:

#y = -1/7 (x - 7) ^ 2 + 9 #

Forklaring:

Dette problem kræver, at vi forstår, hvordan en funktion kan forskydes og strækkes for at opfylde bestemte parametre. I så fald er vores grundlæggende funktion #y = x ^ 2 #. Dette beskriver en parabola, som har sit toppunkt på #(0,0)#. Men vi kan udvide det som:

#y = a (x + b) ^ 2 + c #

I den mest grundlæggende situation:

#a = 1 #

# b = c = 0 #

Men ved at ændre disse konstanter kan vi styre formen og placeringen af vores parabola. Vi starter med toppunktet. Da vi ved, skal det være på #(7,9)# vi skal skifte standard parabola til højre ved #7# og op ved #9#. Det betyder at manipulere # B # og # C # parametre:

Naturligvis #c = 9 # fordi det vil betyde alt # Y # værdierne vil stige med #9#. Men mindre tydeligvis, #b = -7 #. Dette skyldes, at når vi tilføjer en faktor til #x# sigt vil skiftet være modsat den faktor. Vi kan se det her:

#x + b = 0 #

#x = -b #

Når vi tilføjer # B # til #x#, vi bevæger vertexet til # -B # i #x# retning.

Så vores parabola hidtil er:

#y = a (x - 7) ^ 2 + 9 #

Men vi skal strække det for at passere gennem punktet #(0,2)#. Dette er så enkelt som at tilslutte disse værdier:

# 2 = a (-7) ^ 2 + 9 #

# 2 = 49a + 9 #

# -7 = 49a #

#a = -1 / 7 #

Det betyder, at vores parabol vil have denne ligning:

#y = -1/7 (x - 7) ^ 2 + 9 #