Hvad er projiceringen af <0, 1, 3> på <0, 4, 4>?

Svar:

Vektorprojektionen er #< 0,2,2 >#, den skalære fremspring er # 2sqrt2 #. Se nedenunder.

Forklaring:

Givet # veca = <0,1,3> # og # vecb = <0,4,4> #, kan vi finde #proj_ (vecb) VECA #, det vektor fremskrivning af # VECA # på # Vecb # ved hjælp af følgende formel:

#proj_ (vecb) VECA = ((VECA * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

Det er dotproduktet af de to vektorer divideret med størrelsen af # Vecb #, ganget med # Vecb # divideret med dens størrelse. Den anden mængde er en vektormængde, da vi deler en vektor af en skalær. Bemærk at vi deler # Vecb # af dens størrelse for at opnå en enhedsvektor (vektor med størrelsen af #1#). Du bemærker måske, at den første mængde er skalar, da vi ved, at når vi tager prikken på to vektorer, er den resulterende en skalær.

Derfor er skalar fremskrivning af #en# på # B # er #comp_ (vecb) VECA = (a * b) / (| b |) #, også skrevet # | Proj_ (vecb) VECA | #.

Vi kan begynde med at tage punktproduktet af de to vektorer:

# veca * vecb = <0,1,3> * <0,4,4> #

#=> (0*0)+(4*1)+(4*3)#

#=>0+4+12=16#

Så kan vi finde størrelsen af # Vecb # ved at tage kvadratroden af summen af kvadraterne af hver af komponenterne.

# | Vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | Vecb | = sqrt ((0) ^ 2 + (4) ^ 2 + (4) ^ 2) #

# => Sqrt (0 + 16 + 16) = sqrt (32) #

Og nu har vi alt, hvad vi har brug for for at finde vektorprojektionen af # VECA # på # Vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (16) / sqrt (32) * (<0,4,4>) / sqrt (32) #

#=>(16 < 0,4,4 >)/32#

#=>(< 0,4,4 >)/2#

#=>< 0,2,2 >#

Den skalære fremspring af # VECA # på # Vecb # er kun den første halvdel af formlen, hvor #comp_ (vecb) VECA = (a * b) / (| b |) #. Derfor er den skalære fremspring # 16 / sqrt (32) #, hvilket yderligere forenkler # 2sqrt2 #. Jeg har vist forenklingen nedenfor.

# 16 / sqrt (32) #

# => 16 / sqrt (16 * 2) #

# => 16 / (4 * sqrt2) #

# => 4 / sqrt2 #

# => (4 * sqrt2) / (sqrt2 * sqrt2) #

# => (4sqrt2) / 2 #

# => 2sqrt2 #

Håber det hjælper!