Hvad er ekstrem- og sadpunkterne for f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2))?

Svar:

# {: ("Kritisk punkt", "Konklusion"), ((0,0,0), "sadlen"):} #

Forklaring:

Teorien om at identificere ekstremiteten af # Z = f (x, y) # er:

1. Løs samtidigt de kritiske ligninger

   # (delvist f) / (delvis x) = (delvist f) / (delvis y) = 0 # (dvs. # F_x = f_y = 0 #)

2. Vurdere #f_ (x x), f_ (yy) og f_ (xy) (= f_ (yx)) # på hvert af disse kritiske punkter. Derfor evaluere # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # på hvert af disse punkter
3. Bestem ekstrems natur

   # {: (Delta> 0, "Der er minimum hvis" f_ (xx) <0), ("og et maksimum hvis" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "der er et sadelpunkt"), (Delta = 0, "Yderligere analyse er nødvendig"):} #

Så vi har:

# f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) #

# "" = xye ^ (y ^ 2) - xye ^ (x ^ 2) #

Lad os finde de første partielle derivater:

# (delvist f) / (delvist x) = ye ^ (y ^ 2) + {(-xy) (2xe ^ (x ^ 2)) + (-y) (e ^ (x ^ 2))}

# = ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) #

# (del f) / (del y) = 2 (xy2)) + (x) (e ^ (y ^ 2)) - xe ^ (x ^ 2)

# = 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) #

Så vores kritiske ligninger er:

(x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) = 0 => y (e ^ (y ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #

(X ^ 2) = 0 => x (2y ^ 2e ^ (y ^ 2) + e ^ (y ^ 2) - xe ^ e ^ (x ^ 2)) = 0 #

Fra disse ligninger har vi:

# y = 0 # eller # e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) = 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) #

# x = 0 # eller # e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2) = -2y ^ 2e ^ (y ^ 2) #

Og den eneste samtidige løsning er # X = y = 0 #

Og så har vi en kritisk punkt ved oprindelsen

Så lad os nu se på de andre partielle derivater, så vi kan bestemme karakteren af det kritiske punkt (jeg vil bare citere disse resultater):

# (delvist ^ 2f) / (delvist x ^ 2) = -4x ^ 3ye ^ (x ^ 2) -6xye ^ (x ^ 2) #

# (partial ^ 2f) / (partial y ^ 2) = 4xy ^ 3e ^ (y ^ 2) + 6xye ^ (y ^ 2) #

# (delvist ^ 2f) / (delvist x delvist y) = e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) + 2y ^ 2e ^ (y ^ 2) (= (partial ^ 2f) / (partial y delvis x)) #

Og vi skal beregne:

(Delvist ^ 2f) / (delvist ^ 2) - ((delvist ^ 2f) / (delvis x delvist y)) ^ 2 #

på hvert kritisk punkt. De anden partielle afledte værdier, # Delta #, og konklusionen er som følger:

# (: ("Critical Point", (partial ^ 2f) / (partial x ^ 2), (partial ^ 2f) / (partial y ^ 2), (partial ^ 2f) / (partial x partial y) "Konklusion"), ((0,0,0), 0,0,0, = 0, "inklusiv"):} #

Så efter alt det arbejde er det ret skuffende at få et inklusivt resultat, men hvis vi undersøger adfærd omkring det kritiske punkt, kan vi let fastslå, at det er et sadpunkt.

Vi kan se disse kritiske punkter, hvis vi ser på et 3D-plot: