Svar:
Denne funktion har ingen stationære punkter (er du sikker på det #F (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2-y / x # er den du ønskede at studere ?!).
Forklaring:
Ifølge den mest diffusede definition af sadelpunkter (stationære punkter, der ikke er ekstrem), søger du efter de stationære punkter i funktionen i sit domæne # D = x ne 0 = RR ^ 2 setminus {(0, y) i RR ^ 2} #.
Vi kan nu omskrive det udtryk, der er givet til # F # på følgende måde: #F (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2y / x #
Vejen til at identificere dem er at søge efter de punkter, der ophæver gradienten af # F #, som er vektoren af de partielle derivater:
#nabla f = ((del f) / (del x), (del f) / (del y)) #
Da domænet er et åbent sæt, behøver vi ikke at søge ekstremt til sidst liggende på grænsen, fordi et åbent sæt ikke indeholder grænsepunkter.
Så lad os beregne funktionsgradienten:
#nabla f (x, y) = (14x + 2xy ^ 2 + y / x ^ 2,2x ^ 2y-1 / x)
Dette er null, når følgende ligninger er opfyldt samtidig:
# 14x + 2xy ^ 2 + y / x ^ 2 = 0 #
# 2x ^ 2y = 1 / x #
Vi kan vende det andet ind # Y = 1 / (2x ^ 3) # og erstatte den til den første til at få
# 14x + 2x (1 / (2x ^ 3)) ^ 2+ (1 / (2x ^ 3)) / x ^ 2 = 0 #
# 14x + 1 / (2x ^ 5) + 1 / (2x ^ 5) = 0 #
# 14x ^ 6 + 1 = 0 #
Dette kan ikke opfyldes for #x i RR #, så gradienten er aldrig nul på domænet. Det betyder, at funktionen ikke har stationære punkter!
