Hvad er lim_ (xrarr1 ^ +) x ^ (1 / (1-x)) som x nærmer 1 fra højre side?

# 1 / e #

# X ^ (1 / (1-x)) #:

graf {x ^ (1 / (1-x)) -2.064, 4.095, -1.338, 1.74}

Nå, det ville være meget lettere, hvis vi simpelthen tog # Ln # af begge sider. Siden # X ^ (1 / (1-x)) # er kontinuerlig i det åbne interval til højre for #1#, det kan vi godt sige:

#ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln (x ^ (1 / (1-x)))

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln x / (1-x) #

Siden #ln (1) = 0 # og #(1 - 1) = 0#, dette er af formen #0/0# og L'Hopital's regel gælder:

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) (1 "/" x) / (- 1) #

Og selvfølgelig, # 1 / x # er kontinuerlig fra hver side af #x = 1 #.

# => ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) = -1 #

Som følge heraf er den oprindelige grænse:

#color (blå) (lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) = "exp" (ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ 1 / (1-x))) #

# = e ^ (- 1) #

# = farve (blå) (1 / e) #