Hvad er en løsning på differentialekvationen dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2?

Svar:

Den generelle løsning er:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Forklaring:

Vi har:

# dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2 #

Vi kan indsamle vilkår for lignende variabler:

# 1 / (y-1) ^ 2 dy / dt = e ^ t #

Hvilket er en adskilt Første Ordens Ordinære Ikke-Lineære Differential Equation, så vi kan "adskille variablerne" at få:

# int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

Begge integraler er standardfunktioner, så vi kan bruge denne viden til direkte at integrere:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C #

Og vi kan nemt omarrangere for # Y #:

# - (y-1) = 1 / (e ^ t + C) #

#:. 1-y = 1 / (e ^ t + C)

Førende til den generelle løsning:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Svar:

# Y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #

Forklaring:

Dette er en separerbar differentialligning, hvilket betyder, at den kan skrives i form:

# Dy / dx * f (y) = g (x) #

Det kan løses ved at integrere begge sider:

#int f (y) dy = int g (x) dx #

I vores tilfælde skal vi først adskille integralet i den rigtige form. Det kan vi gøre ved at dele begge sider ved # (Y-1) ^ 2 #:

# Dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ tcancel ((y-1) ^ 2 / (y-1) ^ 2) #

# Dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ t #

Nu kan vi integrere begge sider:

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = e ^ t + C_1 #

Vi kan løse den venstre håndintegral med en substitution af # U = y-1 #:

#int 1 / u ^ 2 du = e ^ t + C_1 #

#int u ^ -2 du = e ^ t + C_1 #

# U ^ -1 / (- 1) + C_2 = e ^ t + C_1 #

Omformulering (og kombination af konstanter) giver:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C_3 #

Multiplicer begge sider af # Y-1 #:

# -1 = (e ^ t + C_3) (y-1) #

Opdel begge sider af # E ^ t + C_3 #:

# -1 / (e ^ t + C_3) = y-1 #

# Y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #