Hvad er grænsen som x nærmer sig uendelighed af (1 + a / x) ^ (bx)?

Ved at bruge logaritme og l'Hopital's Rule, #lim_ {x til infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab} #.

Ved at bruge substitutionen # T = a / x # eller ækvivalent # X = a / t #, # (1 + a / x) ^ {bx} = (1 + t) ^ {{ab} / t} #

Ved at bruge logaritmiske egenskaber,

= {^ ab {ln (1 + t)} = e ^ {ab {ln (1 + t) } / t} #

Ved l'Hopital's Rule, #lim_ {t til 0} {ln (1 + t)} / {t} = lim_ {t til 0} {1 / {1 + t}} / {1} = 1 #

derfor

#lim_ {x til infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab lim_ {t til 0} {ln (1 + t)} / {t}} = e ^ {ab} #

(Bemærk: #t til 0 # som #x til infty #)

Hvad er grænsen for (1+ (a / x) som x nærmer sig uendelighed?

Lim_ (x-> oo) (1 + a / x) = 1 lim_ (x-> oo) (1 + a / x) = 1+ lim_ (x-> oo) a / x Nu for alle endelige a, lim_ (x-> oo) a / x = 0 Derfor er lim_ (x-> oo) (1 + a / x) = 1

Hvad er grænsen for (1+ (4 / x)) ^ x som x nærmer sig uendelighed?

E ^ 4 Bemærk binomialdefinitionen for Euler's nummer: e = lim_ (x-> oo) (1 + 1 / x) ^ x- = lim_ (x-> 0) (1 + x) ^ (1 / x) Her Jeg vil bruge x-> oo definitionen. I denne formel, lad y = nx Derefter 1 / x = n / y og x = y / n Eulers tal udtrykkes derefter i en mere generel form: e = lim_ (y-> oo) (1 + n / y) ^ (y / n) Med andre ord, e ^ n = lim_ (y-> oo) (1 + n / y) ^ y Da y også er en variabel, kan vi erstatte x i stedet for y: e ^ n = lim_ (x-> oo) (1 + n / x) ^ x Derfor, når n = 4, lim_ (x-> oo) (1 + 4 / x) ^ x = e ^ 4

Hvad er grænsen for ((1) / (x)) - ((1) / (e ^ (x) -1)) som x nærmer sig uendelighed?

Hvis to grænser tilføjes sammen individuelt nærmer sig 0, går hele sagen til 0. Brug den egenskab, der begrænser fordelingen over tilføjelse og subtraktion. => lim_ (x-> oo) 1 / x - lim_ (x-> oo) 1 / (e ^ x - 1) Den første grænse er trivial; 1 / "stor" ~ ~ 0. Den anden spørger dig om at vide, at e ^ x stiger som x stiger. Således som x-> oo, e ^ x -> oo. => farve (blå) (lim_ (x-> oo) 1 / x - 1 / (e ^ x - 1)) = 1 / oo - 1 / (oo - annullere (1) ^ "lille") = 0 - 0 = farve (blå) (0)