Hvordan bruger du mellemværdets sætning til at kontrollere, at der er et nul i intervallet [0,1] for f (x) = x ^ 3 + x-1?

Svar:

Der er nøjagtigt 1 nul i dette interval.

Forklaring:

Mellemværdets sætning angiver det for en kontinuerlig funktion defineret på interval # A, b # vi kan lade # C # vær et nummer med

#f (a) <c <f (b) # og det #EE x i a, b # sådan at #f (x) = c #.

En følge af dette er, at hvis tegnet af #f (a)! = # tegn på #F (b) # det betyder at der skal være nogle #x i a, b # sådan at #f (x) = 0 # fordi #0# er naturligvis mellem negativer og positive.

Så lad os sub i endepunkterne:

#f (0) = 0 ^ 3 + 0 -1 = -1 #

#f (1) = 1 ^ 3 + 1 - 1 = 1 #

#derfor# der er mindst et nul i dette interval. For at kontrollere, om der kun er en rod, ser vi på derivatet, der giver hældningen.

#f '(x) = 3x ^ 2 + 1 #

Det kan vi se #AA x i a, b, f '(x)> 0 # så funktionen stiger altid i dette interval - det betyder, at der kun er én rod i dette interval.