Svar:
Se forklaring …
Forklaring:
Hvis # P = q = r # derefter:
# px ^ 2 + qx + r = qx ^ 2 + rx + p #
Så alle nuler, de har, vil være fælles.
Bemærk at disse betingelser ikke er nødvendige.
For eksempel, hvis # P = 0 #, #q! = 0 # og #r! = 0 # derefter:
# Px ^ 2 + qx + r = 0 # har rod # X = -r / q #
# Qx ^ 2 + rx + p = 0 # har rødder # X = -r / q # og # X = 0 #
Så de to ligninger har en fælles rod, men #p! = q # og vi kræver ikke # P + q + r = 0 #.
Svar:
Se nedenfor.
Forklaring:
Som # Px ^ 2 + qx + r = 0 # og # Qx ^ 2 + rx + p = 0 # have fælles rod, lad denne rod være # Alfa #. Derefter
# Palpha ^ 2 + qalpha + r = 0 # og # Qalpha ^ 2 + ralpha + p = 0 #
og dermed # Alfa ^ 2 / (pq-r ^ 2) = a / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) #
og # Alfa = (qr-p ^ 2) / (pr-q ^ 2) # og # Alfa ^ 2 = (pq-r ^ 2) / (pr-q ^ 2) #
dvs. # (Qr-p ^ 2) ^ 2 / (pr-q ^ 2) ^ 2 = (pq-r ^ 2) / (pr-q ^ 2) #
eller # (Qr-p ^ 2) ^ 2 = (pq-r ^ 2) (pr-q ^ 2) #
eller # Q ^ 2r ^ 2 + p ^ 4-2p ^ 2QR = p ^ 2QR-pq ^ 3-pr ^ 3 + q ^ 2r ^ 2 #
eller # P ^ 4 + pq ^ 3 + pr ^ 3-3p ^ 2QR = 0 # og dividere med # P #
eller # P ^ 3 + q ^ 3 + r ^ 3-3pqr = 0 #
dvs. # (P + q + r) (p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp) = 0 #
Dermed heller ikke # P + q + r = 0 # eller # P ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0 #
Overhold det som # Alfa ^ 2 / (pq-r ^ 2) = a / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) #
# Alfa ^ 2 / (pq-r ^ 2) = a / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) = (a ^ 2 + alpha + 1) / (p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp) #
og hvis # P ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0 #, vi har # Alfa ^ 2 + alpha + 1 = 0 # dvs. # P = q = r #
