Hvad er standardformen for ligningen af en cirkel, der går gennem (0, -14), (-12, -14) og (0,0)?

Svar:

En cirkel af radius #sqrt (85) # og center #(-6,-7)#

Standardform ligning er: # (x + 6) ^ 2 + (y + 7) ^ 2 = 85 #

Eller, # x ^ 2 + 12x + y ^ 2 + 14y = 0 #

Forklaring:

Den kartesiske ligning af en cirkel med center # (A, b) # og radius # R # er:

# (x-a) ^ 2 + (y-b) ^ 2 = r ^ 2 #

Hvis cirklen passerer gennem (0, -14) så:

# (0-a) ^ 2 + (-14-b) ^ 2 = r ^ 2 #

# a ^ 2 + (14 + b) ^ 2 = r ^ 2 # ………………………….. 1

Hvis cirklen passerer gennem (0, -14) så:

# (-12-a) ^ 2 + (-14-b) ^ 2 = r ^ 2 #

# (12 + a) ^ 2 + (14 + b) ^ 2 = r ^ 2 # ………………………….. 2

Hvis cirklen passerer gennem (0,0) så:

# (0-a) ^ 2 + (0-b) ^ 2 = r ^ 2 #

# a ^ 2 + b ^ 2 = r ^ 2 # ………………………….. 3

Vi har nu 3 ligninger i 3 ukendte

Eq 2 - Eq 1 giver:

# (12 + a) ^ 2-a ^ 2 = 0 #

#:. (12 + a-a) (12 + a + a) = 0 #

#:. 12 (12 + 2a) = 0 #

#:. a = -6 #

Subs # A = 6 # ind i Eq 3:

# 36 + b ^ 2 = r ^ 2 # ………………………….. 4

Subs # A = 6 # og # R ^ 2 = 36 + b ^ 2 #ind i Eq 1:

# 36 + (14 + b) ^ 2 = 36 + b ^ 2 #

#:. (14 + b) ^ 2 - b ^ 2 = 0 #

#:. (14 + b-b) (14 + b + b) = 0 #

#:. 14 (14 + 2b) = 0 #

#:. b = -7 #

Og endelig, Subs # B = -7 # ind i Eq 4;

# 36 + 49 = r ^ 2 #

#:. r ^ 2 = 85 #

#:. r = sqrt (85) #

Og så er ligningen af cirklen

# (x + 6) ^ 2 + (y + 7) ^ 2 = 85 #

Hvilket repræsenterer en radius cirkel #sqrt (85) # og center #(-6,-7)#

Vi kan multiplicere ud, hvis det kræves for at få:

# x ^ 2 + 12x + 36 + y ^ 2 + 14y + 49 = 85 #

# x ^ 2 + 12x + y ^ 2 + 14y = 0 #