Svar:
en)# X = 2 #
b) se nedenfor
Forklaring:
a) Siden de første tre udtryk er #sqrt x-1 #, 1 og #sqrt x + 1 #, den midterste term, 1, skal være det geometriske gennemsnit af de to andre. Derfor
# 1 ^ 2 = (sqrt x-1) (sqrt x +1) indebærer #
# 1 = x-1 indebærer x = 2 #
b)
Det fælles forhold er da #sqrt 2 + 1 #, og det første udtryk er #sqrt 2-1 #.
Således er det femte udtryk
# (sqrt 2-1) gange (sqrt 2 + 1) ^ 4 = (sqrt 2 + 1) ^ 3 #
#qquad = (sqrt 2) ^ 3 + 3 (sqrt2) ^ 2 + 3 (sqrt2) + 1 #
# qquad = 2sqrt2 + 6 + 3sqrt2 + 1 #
#qquad = 7 + 5sqrt2 #
Svar:
Se nedenfor.
Forklaring:
I betragtning af at
# Rarrsqrtx-1,1, sqrtx + 1 # er inde # GP #.
Så, #rarr (sqrtx-1) / 1 = 1 / (sqrtx + 1) #
#rarr (sqrtx-1) ^ 2 = 1 #
#rarr (sqrtx) ^ 2-1 ^ 2 = 1 #
# Rarrx = 2 #
Den første periode # (A) = sqrtx-1 = sqrt2-1 #
Det andet udtryk # (B) = 1 #
Det fælles forhold # (R) = b / a = 1 / (sqrt2-1) = sqrt2 + 1 #
Det # N ^ (th) # Udtryk af geometrisk sekvens # (T_n) = a * r ^ (n-1) #
Så, # T_5 = (sqrt2-1) * (sqrt2 + 1) ^ (5-1) #
# = (Sqrt2-1) (sqrt2 + 1) (sqrt2 + 1) ^ 3 #
# = (Sqrt2) ^ 2-1 ^ 2 (sqrt2) ^ 3 + 3 * (sqrt2 ^ 2) * 1 + 3 * sqrt2 * 1 ^ 2 + 1 ^ 3 #
# = (2-1) (2sqrt2 + 6 + 3sqrt2 + 1) = 7 + 5sqrt2 #
Svar:
# x = 2 og 5 ^ (th) "term" = 7 + 5sqrt2 #.
Forklaring:
Til nogen #3# på hinanden følgende vilkår # A, b, c # af a GP, vi har, # B ^ 2 = ac #.
Derfor, i vores tilfælde, # 1 ^ 2 = (sqrtx-1) (sqrtx + 1) = (sqrtx) ^ 2-1 ^ 2, #
# det vil sige 1 = x-1 eller x = 2 #.
Med # X = 2 #, det # 1 ^ (st) og 2 ^ (nd) # vilkårene i GP under
reference er, # sqrtx-1 = sqrt2-1 og 1 #resp.
Så fælles forhold # r = (2 ^ (nd) "term)" -:(1 ^ (st) "term)" #, # = 1 / (sqrt2-1) = sqrt2 + 1 #.
#:. 4 ^ (th) "term = r (" 3 ^ (rd) "term) = (sqrt2 + 1) (sqrtx + 1), # = (Sqrt2 + 1) (sqrt2 + 1) #, # = 2 + 2sqrt2 + 1 #, # = 3 + 2sqrt2 #.
Yderligere, # (5 ^ (th) "term) = r (" 4 ^ (th) termen) #, # = (Sqrt2 + 1) (3 + 2sqrt2) #,
# = 3sqrt2 + 3 + 2sqrt2 * sqrt2 + 2sqrt2 #.
# rArr 5 ^ (th) "term" = 7 + 5sqrt2 #.
