Hvad er -3sin (arccos (2)) - cos (arc cos (3)) lig med?

Svar:

Problem uopløseligt

Forklaring:

Der er ingen buer, at deres cosinus er lig med 2 og 3.

Fra et analytisk synspunkt # Arccos # funktion er kun defineret på #-1,1# så #arccos (2) # & #arccos (3) # eksisterer ikke.

Svar:

For Real # cos # og #synd# dette har ingen løsninger, men som funktioner af komplekse tal finder vi:

# -3 sin (arccos (2)) - cos (arccos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #

Forklaring:

Som Realværdige funktioner af Realværdier af #x#, funktionerne #cos (x) # og #sin (x) # kun tage værdier i området #-1, 1#, så #arccos (2) # og #arccos (3) # er udefinerede.

Det er dog muligt at udvide definitionen af disse funktioner til komplekse funktioner #cos (z) # og #sin (z) # som følger:

Begyndende med:

# e ^ (ix) = cos x + i sin x #

#cos (-x) = cos (x) #

#sin (-x) = -in (x) #

vi kan udlede:

#cos (x) = (e ^ (ix) + e ^ (- ix)) / 2 #

#sin (x) = (e ^ (ix) -e ^ (- ix)) / (2i) #

Derfor kan vi definere:

#cos (z) = (e ^ (iz) + e ^ (- iz)) / 2 #

#sin (z) = (e ^ (iz) -e ^ (- iz)) / (2i) #

for et komplekst tal # Z #.

Det er muligt at finde flere værdier af # Z # som tilfredsstiller #cos (z) = 2 # eller #cos (z) = 3 #, så der kunne være nogle valg, der skal laves for at definere hovedværdien #arccos (2) # eller #arccos (3) #.

For at finde egnede kandidater, løs # (e ^ (iz) + e ^ (- iz)) / 2 = 2 #, etc.

Bemærk dog, at identiteten # cos ^ 2 z + sin ^ 2 z = 1 # holder for ethvert komplekst nummer # Z #, så vi kan udlede:

#sin (arccos (2)) = + -sqrt (1-2 ^ 2) = + -sqrt (-3) = + -sqrt (3) i #

Jeg håber, at det er muligt at definere hovedværdien på en sådan måde, at #sin (arccos (2)) = sqrt (3) i # hellere end # -sqrt (3) i #.

Under alle omstændigheder #cos (arccos (3)) = 3 # Per definition.

Sætter dette sammen, finder vi:

# -3 sin (arccos (2)) - cos (arccos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #