Hvad er integralet af e ^ (x ^ 3)?

Du kan ikke udtrykke dette integral med hensyn til elementære funktioner.

Afhængigt af hvad du har brug for integrationen for, kan du vælge en måde at integrere eller en anden på.

Integration via power-serien

Husk det # E ^ x # er analytisk på #mathbb {R} #, så #forall x i mathbb {R} # Følgende ligestilling gælder

# E ^ x = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} x ^ n / {n!} #

og det betyder det

# E ^ {x ^ 3} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} (x ^ 3) ^ n / {n!} = Sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n} } / {n!} #

Nu kan du integrere:

dx = c + sum_ {n = 0} ^ {+ n + 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n}} / {n!}) infty} {x ^ {3n + 1}} / {(3n + 1) n!} #

Integration via den ufuldstændige gamma funktion

Først, erstatning # T = -x ^ 3 #:

dx = - 1/3 int e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

Funktionen # E ^ {x ^ 3} # er kontinuerlig. Det betyder, at dets primitive funktioner er #F: mathbb {R} til mathbb {R} # sådan at

#F (y) = c + int_0 ^ y e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 int_0 ^ {- y ^ 3} e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

og dette er veldefineret fordi funktionen #F (t) = e ^ {- t} t ^ {- 2/3} # er sådan, at for #t til 0 # det rummer #f (t) ~~ t ^ {- 2/3} #, så den ukorrekte integral # int_0 ^ s f (t) dt # er endelig (jeg kalder # s = -y ^ 3 #).

Så du har det

#int e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ s f (t) dt #

Bemærk det #t ^ {- 2/3} <1 hArr t> 1 #. Det betyder at for #t til + infty # vi får det #f (t) = e ^ {- t} * t ^ {- 2/3} <e ^ {- t} * 1 = e ^ {- t} #, så det # | int_1 ^ {+ infty} f (t) dt | <| int_1 ^ {+ infty} e ^ {- t} dt | = e #. Så følger ukorrekt integral af #F (t) # er endelig:

# c '= int_0 ^ {+ infty} f (t) dt = int_0 ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt = Gamma (1/3).

Vi kan skrive:

dx = c-1/3 (int_0 ^ {+ infty} f (t) dt -int_s ^ {+ infty} f (t) dt)

det er

# t e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 c '+1/3 int_s ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt #.

I sidste ende får vi

dx = C + 1/3 Gamma (1/3, t) = C + 1/3 Gamma (1/3, -x ^ 3) #