Y = f (x) er angivet.Graf, y = f (3x) -2 og y = -f (x-1)?

Svar:

Har ikke grafpapir praktisk - så jeg håber, at beskrivelsen hjælper!

Forklaring:

Til # Y = f (3x) -2 # først presse den givne graf langs #x# akse med en faktor på 3 (så at venstre hånds minimum står på # X = -2/3 #), og tryk derefter på hele grafen ned med 2 enheder. Den nye graf vil således have et minimum på #x = -2 / 3 # med en værdi af # y = -2 #, et maksimum på #(0,0)# og et andet minimum på #(4/3, -4)#

Til # Y = -f (x-1) # Først skift graf 1 enhed til ret, så flip det på hovedet! Så den nye graf vil ave to maksima på #(-1,0)# og #(5,2)# og et minimum på #(1,-2) #

Svar:

Her er en mere detaljeret forklaring

Forklaring:

Problemerne er særlige tilfælde af et mere generelt problem:

Givet grafen for # Y = f (x) #, hvad er grafen for #y = a f (b x + c) + d # ?

(den første er til # a = 1, b = 3, c = 0, d = -2 #, mens den anden er for # a = -1, b = 1, c = -1, d = 0 #)

Jeg vil forsøge at forklare svaret i trin ved at løse problemet et trin ad gangen. Det vil være et ret langt svar - men forhåbentlig vil det generelle princip være klart ved slutningen af det.

Til illustration vil jeg bruge en bestemt kurve, som jeg viser nedenfor, men ideen vil fungere generelt.

(Hvis nogen er interesseret, er den funktion, der er plottet her, #f (x) = exp (- {(x-1) ^ 2} / 2) #

1) Med grafen for # Y = f (x) #, hvad er grafen for #y = f (x) + d # ?

Denne er let - alt hvad du skal gøre er at bemærke, at hvis # (X, y) # er et punkt på den første graf, så # (X, y + d) # er et punkt på den anden. Det betyder, at den anden graf er højere end den første med en afstand # D # (selvfølgelig, hvis # D # er negativ, den er lavere end den første graf ved # | D | #).

Så grafen af # Y = f (x) + 1 # vil være

Som du kan se, grafen for #y = f (x) + 1 # (den faste lilla linje) opnås ved blot at skubbe grafen for # Y = f (x) # (den grå stiplede linje) op af en enhed.

Grafen for # Y = f (x) -1 # kan findes ved at trykke på den oprindelige graf ned af en enhed:

2) Med grafen for # Y = f (x) #, hvad er grafen for #y = f (x + c) # ?

Det er let at se, at hvis # (X, y) # er et punkt på # Y = f (x) # graf, så # (X-c, y) # vil være et punkt på #y = f (x + c) # kurve. Dette betyder at du kan få grafen af #y = f (x + c) # fra grafen af #y = f (x) # simpelthen ved at skifte den til venstre ved # C # (selvfølgelig, hvis # C # er negativ, du skal flytte den oprindelige graf ved # | C | # til højre.

Som et eksempel, grafen for # Y = f (x + 1) # kan findes ved at skubbe den oprindelige graf til venstre af en enhed:

mens det for # Y = f (x-1) # indebærer at skubbe den oprindelige graf til ret af en enhed:

3) Med grafen for # Y = f (x) #, hvad er grafen for #y = f (bx) # ?

Siden #f (x) = f (b gange x / b) # det følger heraf, at hvis # (X, y) # er et punkt på #y = f (x) # graf, så # (x / b, y) # er et punkt på # Y = f (bx) # kurve.

Det betyder, at den oprindelige graf skal være klemt med en faktor på # B # langs den, det #x# akse. Selvfølgelig klemmer forbi # B # er virkelig en stretching ved # 1 / b # i tilfælde hvor # 0 <b <1 #

Grafen for # Y = f (2x) # er

Bemærk, at mens højden forbliver den samme ved 1, krymper bredden med en faktor på 2. Specielt er toppen af den oprindelige kurve forskudt fra # X = 1 # til # X = 1/2 #.

På den anden side er grafen for # Y = f (x / 2) # er

Bemærk, at denne graf er dobbelt så bred (klemme ved #1/2# er den samme som strækker sig med en faktor 2), og toppen er også flyttet fra # X = 1 # til # X = 2 #.

Der skal specielt nævnes tilfælde hvor # B # er negativ. Det er bedst måske at tænke på dette som en to-trins proces

• Find først grafen for # Y = f (-x) #, og så
• tryk den resulterende graf ved # | B | #

Bemærk at for hvert punkt # (X, y) # af den oprindelige graf, punktet # (- x, y) # er et punkt på grafen af # Y = f (-x) # - så den nye graf kan findes ved at afspejle den gamle om # Y # akse.

Som en illustration af de to trin proces, overvej grafen af # Y = f (-2x) # vist nedenfor:

Her den oprindelige kurve, den for # Y = f (x) # er først vendt om # Y # akse for at få kurven til # Y = f (-x) # (den tynde cyan linje). Dette presses derefter med en faktor af #2# at få kurven til # Y = f (-2x) # - den tyk lilla kurve

4) Med grafen for # Y = f (x) #, hvad er grafen for #y = af (x) # ?

Mønsteret er det samme her - hvis # (X, y) # er et punkt på den oprindelige kurve derefter # (X, y) # er et punkt på grafen af # Y = off (x) #

Det betyder det for en positiv #en#, grafen bliver strakt af en faktor af #en# langs den, det # Y # akse. Igen, en værdi af #en# mellem 0 og 1 betyder at i stedet for at blive strakt, vil kurven faktisk blive presset med en faktor på # 1 / a # langs den, det # Y # akse.

Kurven nedenfor er til # y = 2f (x) #

Bemærk, at mens toppen er på samme værdi af #x# - dens højde er fordoblet til 2 fra 1. Det er naturligvis ikke toppen, der er blevet strakt - den # Y # koordinat for hvert punkt i den oprindelige kurve er fordoblet for at få den nye kurve.

Figuren nedenfor illustrerer den klemme, der opstår, når #0<>

Igen er sagen for #A <0 # tager særlig omhu - og det er bedre, hvis du gør det i to trin

1. Først vrid kurven på hovedet om #X# akse for at få kurven til # Y = -f (x) #
2. Stret kurven forbi # | En | # langs den, det # Y # akse.

Kurven for # Y = -f (x) # er

mens billedet nedenfor illustrerer de to trin involveret i tegning af kurven for #y = -2f (x) #

Samler det hele

Nu da vi har gennemgået de enkelte trin, lad os sætte dem alle sammen! Fremgangsmåden til tegning af kurven for

# y = a f (bx + c) + d #

fra og med # Y = f (x) # er i det væsentlige sammensat af de følgende trin

1. Plot kurven af # Y = f (x + c) #: Skift grafen med en afstand # C # til venstre
2. Så plot det af #y = f (bx + c) #: Klem kurven, som du kommer fra trin 1 i #X# retning af faktoren # | B | #, (først vende det om # Y # akse hvis #b <0 #)
3. Derefter plot grafen af # Y = off (bx + c) #: Skal kurven du fik fra trin 2 til med en faktor på #en# i lodret retning.
4. Endelig skub kurven, som du opnår i trin 3 op med en afstand # D # for at få det endelige resultat.

Selvfølgelig skal du kun udføre alle fire trin i ekstreme tilfælde - ofte et mindre antal trin vil gøre! Sekvensen af trin er også vigtig.

Hvis du undrer dig over, følger disse trin fra, at hvis # (X, y) # er et punkt på # Y = f (x) # graf, så punktet

# ({x-c} / b, ay + d) # er på # Y = off (bx + c) + d # kurve.

Lad mig illustrere processen ved et eksempel med vores funktion #F (x) #. Lad os prøve at konstruere grafen for #y = -2f (2x + 3) + 1 #

Først - skiftet til venstre ved 3 enheder

Derefter: klem med en faktor på 2 langs #X# akse

Derefter bladres grafen over ca. #X# akse og derefter skalering med en faktor på 2 sammen # Y #

Endelig skifter kurven op med 1 enhed - og vi er færdige!