Et par fair six-sided terninger kastes otte gange. Find sandsynligheden for at en score større end 7 scorer ikke mere end fem gange?

Svar:

#~=0.9391#

Forklaring:

Før vi går ind i selve spørgsmålet, lad os tale om metoden til løsning af den.

Lad os f.eks. Sige, at jeg vil redegøre for alle mulige resultater fra at flippe en fair mønt tre gange. Jeg kan få HHH, TTT, TTH og HHT.

Sandsynligheden for H er #1/2# og sandsynligheden for T er også #1/2#.

For HHH og for TTT, det er # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # hver.

For TTH og HHT er det også # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # hver, men da der er 3 måder jeg kan få hvert resultat, ender det med at blive # 3xx1 / 8 = 3/8 # hver.

Når jeg opsummerer disse resultater, får jeg det #1/8+3/8+3/8+1/8=1# - hvilket betyder, at jeg nu har alle mulige resultater af møntflipen.

Bemærk, at hvis jeg sætter # H # at være # P # og derfor har # T # være # ~ P #, og bemærk at vi har en linje fra Pascal's Triangle #(1,3,3,1)#, vi har oprettet en form for:

#sum_ (k = 0) ^ (n) C_ (n, k) (p) ^ k ((~ p) ^ (n-k)) #

og i dette eksempel får vi:

# = C_ (3,0) (1/2) ^ 0 (1/2) ^ 3 + C_ (3,1) (1/2) ^ 1 (1/2) ^ 2 + C_ (3,2) (1/2) ^ 2 (1/2) ^ 1 + C_ (3,3) (1/2) ^ 3 (1/2) ^ 0 #

#=1(1)(1/8)+3(1/2)(1/4)+3(1/4)(1/2)+1(1/8)(1)#

#=1/8+3/8+3/8+1/8=1#

Nu kan vi gøre problemet.

Vi får antallet af ruller som 8, så # N = 8 #.

# P # er summen større end 7. For at finde sandsynligheden for at få en sum større end 7, lad os se på de mulige ruller:

# ((Farve (hvid) (0), UL1, UL2, U | _3, ul4, UL5, ul6), (1 |, 2,3,4,5,6,7), (2 |, 3,4,5, 6,7,8), (3 |, 4,5,6,7,8,9), (4 |, 5,6,7,8,9,10), (5 |, 6,7, 8,9,10,11), (6 |, 7,8,9,10,11,12)) #

Ud af 36 muligheder giver 15 ruller en sum større end 36, hvilket giver en sandsynlighed for #15/36=5/12#.

Med # p = 5/12, ~ p = 7/12 #

Vi kan skrive hele summen af muligheder - fra at få alle 8 ruller til at være en sum større end 7 hele vejen for at få alle 8 ruller til at være en sum på 7 eller mindre:

# = C_ (8,0) (5/12) ^ 8 (7/12) ^ 0 + C_ (8,1) (5/12) ^ 7 (7/12) ^ 1 + C_ (8,2) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2 + C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 = 1 #

men vi er interesserede i at opsummere kun de vilkår, der har vores større end 7 beløb, der sker 5 gange eller mindre:

# = C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 #

#~=0.9391#

Svar:

#0.93906#

Forklaring:

# "Så P udfald> 7 = 15/36 = 5/12" #

#P "det forekommer k gange på 8 kaster" = C (8, k) (5/12) ^ k (7/12) ^ (8-k) "#

# "(binomial distribution)" #

# "med" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! k!) "(kombinationer)" #

# "Så," #

#P "det forekommer højst 5 gange på 8 kast" #

# = 1 - P "det forekommer 6, 7 eller 8 gange på 8 kast" #

# = 1-C (8,6) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2-C (8,7) (5/12) ^ 7 (7/12) - (5/12) ^ 8 #

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 8*(7/5) + 28*(7/5)^2)#

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 11.2 + 54.88) = 1 - (5/12)^8 (67.08)#

#= 0.93906#