Summen af kvadratet af to på hinanden følgende tal er 390. Hvordan formulerer du den kvadratiske ligning for at finde de to tal?

Svar:

Den kvadratiske ville være # 2n ^ 2 + 2n-389 = 0 #.

Dette har ingen heltal løsninger.

Ligeledes er summen af kvadrater i et hvilket som helst helt tal lig med #390#.

Summen af kvadraterne af to gaussiske heltal kan være 390.

Forklaring:

Hvis den mindste af de to tal er # N #, så er det større # N + 1 # og summen af deres kvadrater er:

# n ^ 2 + (n + 1) ^ 2 = n ^ 2 + n ^ 2 + 2n + 1 = 2n ^ 2 + 2n + 1 #

Så den kvadratiske ligning vi ville se for at løse er:

# 2n ^ 2 + 2n + 1 = 390 #

eller hvis du foretrækker:

# 2n ^ 2 + 2n-389 = 0 #

Bemærk dog, at for et helt tal # N # summen # 2n ^ 2 + 2n + 1 # vil være mærkeligt, så det er ikke muligt for #390# at være summen af kvadraterne af to consecutivie heltal.

Kan den udtrykkes som summen af kvadrater af to heltal?

#390 - 19^2 = 390 - 361 = 29' '# ikke firkantet

#390 - 18^2 = 390 - 324 = 66' '# ikke firkantet

#390 - 17^2 = 390 - 289 = 101' '# ikke firkantet

#390 - 16^2 = 390 - 256 = 134' '# ikke firkantet

#390 - 15^2 = 390 - 225 = 165' '# ikke firkantet

#390 - 14^2 = 390 - 196 = 194' '# ikke firkantet

Nej - hvis vi går videre, vil den store rest efter at trække firkanten ikke være en af dem vi allerede har tjekket.

#COLOR (hvid) () #

Kompleks fodnote

Er der et par gaussiske heltal summen af hvis firkant er #390#?

Ja.

Antag, at vi kan finde et gaussisk helt tal # M + ni #, den reelle del af hvis firkant er #195#. Derefter vil summen af kvadratet af det gaussiske heltal og kvadratet af dets komplekse konjugat være en løsning.

Vi finder:

# (m + ni) ^ 2 = (m ^ 2-n ^ 2) + 2mni #

Så vi vil finde heltal #m, n # sådan at # m ^ 2-n ^ 2 = 195 #

Godt:

#14^2-1^2 = 196-1 = 195#

Derfor finder vi:

# (14 + i) ^ 2 + (14-i) ^ 2 = 196 + 28i-1 + 196-28i-1 = 390 #

En anden løsning, der kommer ud fra, at hvert ulige tal er forskellen på kvadrater af to på hinanden følgende tal er:

# (98 + 97i) ^ 2 + (98-97i) ^ 2 = 390 #