Tan3x = 3Tanx-Tan ^ 3x ved 1-3tan ^ 2x Bevis det?

Svar:

Venligst gå gennem a Bevis i Forklaring.

Forklaring:

Vi har, #tan (x + y) = (tanx + tany) / (1-tanxtany) ………… (diamant) #.

lade # x = y = A #, vi får, #tan (A + A) = (TANA + TANA) / (1-TANA * TANA) #.

#:. tan2A = (2tanA) / (1-tan ^ 2A) ………… (diamond_1) #.

Nu tager vi ind # (diamant), x = 2A, og, y = A #.

#:. tan (2A + A) = (tan2A + TANA) / (1-tan2A * TANA) #.

#:. tan3A = {(2tanA) / (1-tan ^ 2A) + TANA} / {1- (2tanA) / (1-tan ^ 2A) * TANA} #, # = {(2tanA + TANA (1-tan ^ 2A)) / (1-tan ^ 2A)} -: {1- (2tan ^ 2A) / (1-tan ^ 2A)} #, # = (2tanA + TANA-tan ^ 3A) / (1-tan ^ 2A-2tan ^ 2A) #.

# rArr tan3A = (3tanA-tan ^ 3A) / (1-3tan ^ 2A) #, som ønsket!

Lad os gøre det fra de første principper fra De Moivre:

#cos 3 x + i sin 3x = (cos x + i sin x) ^ 3 #

Bruger #1,3,3,1# række af Pascals trekant, #cos 3 x + i sin 3x #

# x cos ^ 3 x + 3 cos ^ 2 x (i sin x) + 3 cos x (i ^ 2 sin ^ 2 x) + i ^ 3 sin ^ 3 x #

# = (cos ^ 3 x - 3 cos x sin ^ 2) + i (3 cos ^ 2 x sin x - sin ^ 3 x) #

Ligning af respektive reelle og imaginære dele, # cos 3 x = cos ^ 3 x- 3 cos x sin ^ 2 x #

# sin 3x = 3 cos ^ 2 x sin x - sin ^ 3 x #

Det er (en temmelig uklart form for) triple angle formlerne, og typisk ville vi bare skrive dem eller en mere standardformular ned og starte herfra.

# tan 3x = frac {sin 3x} {cos 3x} = frac {3 cos ^ 2 x sin x - sin ^ 3 x} {cos ^ 3x- 3 cos x sin ^ 2 x} cdot frac {1 / cos ^ 3 x} {1 / cos ^ 3 x} #

#tan 3x = frac {3 tan x - tan ^ 3 x} {1 - 3 tan ^ 2 x} quad square #