Vi har x @ y = ax + ay-xy, x, y i RR og a er en reel parameter. Værdier af en for hvilken [0,1] er stabil del af (RR, @)?

Svar:

#a i 1/2, 1 # eller #a = 1 # hvis vi vil #@# at kortlægge # 0, 1 xx 0, 1 # på #0, 1#.

Forklaring:

Givet:

#x @ y = ax + ay-xy #

Hvis jeg forstår spørgsmålet korrekt, ønsker vi at bestemme værdierne for #en# for hvilket:

#x, y i 0, 1 rarr x @ y i 0, 1 #

Vi finder:

# 1 @ 1 = 2a-1 i 0, 1 #

Derfor #a i 1/2, 1 #

Noter det:

# del / (del x) x @ y = a-y "" # og # "" del / (del y) x @ y = a-x #

Dermed er maksimums- og / eller minimumsværdierne for #x @ y # hvornår #x, y i 0, 1 # vil forekomme når #x, y i {0, a, 1} #

Formode #a i 1/2, 1 #

Vi finder:

# 0 @ 0 = 0 i 0, 1 #

# 0 @ a = a @ 0 = a ^ 2 i 0, 1 #

# 0 @ 1 = 1 @ 0 = a i 0, 1 #

#a @ a = a ^ 2 i 0, 1 #

#a @ 1 = 1 @ a = a ^ 2 i 0, 1 #

# 1 @ 1 = 2a-1 i 0, 1 #

Så den givne betingelse er både nødvendig og tilstrækkelig.

Hertil kommer, hvis vi vil #x @ y # at være på #0, 1# så kræver vi # A = 1 #.