Forklar venligst, det er en lineær transformation eller ej?

Svar:

Se nedenunder

Forklaring:

En trasformation #T: V til W # siges at være lineær, hvis den har følgende to egenskaber:

• #T (v_1 + v_2) = T (v_1) + T (v_2) # for hver # v_1, v_2 i V #
• #T (cv) = cT (v) # for hver #v i V # og hver skalar # C #

Bemærk, at den anden egenskab antager det # V # er indlejret med to operationer af sum og skalær multiplikation. I vores tilfælde er summen summen mellem polynomier, og multiplikationen er multiplikationen med reelle tal (jeg antager).

Når du udleder et polynom, sænker du graden ved #1#, så hvis du får et polynom af grad #4# to gange vil du få et polynom af grad #2#. Bemærk, at når vi taler om sæt af alle fire grad polyinomial, betyder vi faktisk sæt af alle polynomier af grad højst fire. Faktisk er en generisk grad fire polynom

# A_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

Hvis du vil have graden to polynomier # 3 + 6x-5x ^ 2 #, for eksempel vælger du simpelthen

# a_0 = 3, a_1 = 6, a_2 = -5, a_3 = a_4 = 0 #

Når det er sagt, lad os identificere gradenes polynomiske rum # N # med # P_n #, og definer vores operatør #T: P_4 til P_2 # sådan at #T (f (x)) = f '' (x) #

Lad os prove den første egenskab: antage vi har polynomerne

# p_1 = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

og

# p_2 = b_0 + b_1x + b_2x ^ 2 + b_3x ^ 3 + b_4x ^ 4 #

Det betyder at # P_1 + P_2 # lige med

# (A_0 + b_0) + (a_1 + b_1) x + (a_2 + b_2) x ^ 2 + (a_3 + b_3) x ^ 3 + (a_4 + b_4) x ^ 4 #

#T (P_1 + P_2) # er det andet derivat af dette polynom, så det er

# 2 (a_2 + b_2) 6 (a_3 + b_3) x + 12 (a_4 + b_4) x ^ 2 #

(Jeg brugte to gange strømreglen for afledning: den anden afledte af # X ^ n # er #n (n-1) x ^ {n-2} #)

Lad os nu beregne #T (P_1) #, dvs. det andet derivat af # P_1 #:

# 2a_2 + 6a_3x + 12a_4x ^ 2 #

Tilsvarende #T (P_2) #, dvs. det andet derivat af # P_2 #, er

# 2b_2 + 6b_3x + 12b_4x ^ 2 #

Hvis du summerer disse udtryk, kan du se, at vi har

#T (P_1 + P_2) = T (P_1) + T (P_2) #

Den anden egenskab er vist på en lignende måde: givet et polynom

#p = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

Vi har for ethvert reelt tal # C #,

#cp = ca_0 + ca_1x + ca_2x ^ 2 + ca_3x ^ 3 + ca_4x ^ 4 #

dets andet derivat er således

# 2ca_2 + 6ca_3x + 12ca_4x ^ 2 #

som igen er det samme som computing #T (p) #, og multiplicér derefter alt ved # C #, dvs. #T (ep) = cT (p) #