Hvad er derivatet af (x ^ 2 + x) ^ 2?

Svar:

# y ^ '= 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x #

Forklaring:

Du kan differentiere denne funktion ved at bruge sum og magt regler. Bemærk, at du kan omskrive denne funktion som

# x = (x ^ 2 + x) ^ 2 = x (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 * (x + 1) ^ 2 #

# x = x ^ 2 * (x ^ 2 + 2x + 1) = x ^ 4 + 2x ^ 2 + x ^ 2 #

Nu fortæller summoreglen dig det for funktioner, der tager formularen

#y = sum_ (i = 1) ^ (oo) f_i (x) #

du kan finde derivatet af # Y # ved at tilføje derivaterne af disse individuelle funktioner.

#color (blå) (d / dx (y) = f_1 ^ '(x) + f_2 ^' (x) + … #

I dit tilfælde har du

# y ^ '= d / dx (x ^ 4 + 2x ^ 2 + x ^ 2) #

# y ^ '= d / dx (x ^ 4) + d / dx (2x ^ 2) + d / dx (x ^ 2)

# y ^ '= d / dx (x ^ 4) * 2d / dx (x ^ 3) * d / dx (x ^ 2)

For at differentiere disse fraktioner skal du bruge strømreglen

#color (blå) (d / dx (x ^ a) = ax ^ (a-1)) #

Så, din derivat kommer ud til at være

# y ^ '= 4x ^ (4-1) + 2 * 3x ^ (3-1) + 2x ^ (2-1) #

# y ^ '= farve (grøn) (4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x) #

alternativt, kan du bruge kædelegemet til at differentiere # Y #.

#farve (blå) (d / dx (y) = d / (du) (y) * d / dx (u)) #

I dit tilfælde har du #y = u ^ 2 # og # u = x ^ 2 + x #, så du får det

# dy / (dx) = d / (du) u ^ 2 * d / dx (x ^ 2 + x) #

# dy / dx = 2u * (2x + 1) #

# dy / dx = 2 (x ^ 2 + x) * (2x + 1) #

# dy / dx = (2x ^ 2 + 2x) * (2x + 1) #

# dy / dx = 4x ^ 3 + 2x ^ 2 + 4x ^ 2 + 2x = farve (grøn) (4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x) #