Bevis at kurverne x = y ^ 2 og xy = k skæres i rette vinkler, hvis 8k ^ 2 = 1?

Svar:

#-1#

Forklaring:

# 8k ^ 2 = 1 #

# k ^ 2 = 1/8 #

#k = sqrt (1/8) #

#x = y ^ 2 #, #xy = sqrt (1/8) #

de to kurver er

#x = y ^ 2 #

og

#x = sqrt (1/8) / y eller x = sqrt (1/8) y ^ -1 #

for kurven #x = y ^ 2 #, derivatet med hensyn til # Y # er # 2y #.

for kurven #x = sqrt (1/8) y ^ -1 #, derivatet med hensyn til # Y # er # -Sqrt (1/8) y ^ -2 #.

det punkt, hvor de to kurver mødes, er hvornår # y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 3 = sqrt (1/8) #

#y = sqrt (1/2) #

siden #x = y ^ 2 #, #x = 1/2 #

det punkt, hvor kurverne mødes, er # (1/2, sqrt (1/2)) #

hvornår #y = sqrt (1/2) #, # 2y = 2sqrt (1/2) #.

graden af tangentet til kurven #x = y ^ 2 # er # 2sqrt (1/2), eller 2 / (sqrt2) #.

hvornår #y = sqrt (1/2) #, # -sqrt (1/8) y ^ -2 = -2sqrt (1/8) #.

graden af tangentet til kurven #xy = sqrt (1/8) # er # -2sqrt (1/8), eller -2 / (sqrt8) #.

# (2 / sqrt2) * -2 / (sqrt * 8) = -4 / (sqrt16) = -4/4 = -1 #

Vi søger en tilstand af # K # sådan at kurverne # X = y ^ 2 # og # Xy = k # "skåret i rette vinkler". Matematisk betyder det, at kurverne skal være ortogonale, hvilket igen betyder at tangenterne til kurverne på nogen givet punkt er vinkelret.

Hvis vi undersøger familiens kurver for forskellige værdier af # K # vi får:

Vi bemærker straks, at vi leder efter et enkelt punkt, hvor tangenten er vinkelret, så generelt er kurverne ikke ortogonale på alle punkter.

Lad os først finde enkelt koordinere, # P #, af skæringspunktet, som er den samtidige løsning af:

# {(y ^ 2 = x, …… A), (xy = k, …… B):} #

Ved at erstatte Eq A til B får vi:

# (y ^ 2) y = k => y ^ 3 = k => y = rod (3) (k) #

Og så etablerer vi krydsekoordinaten:

# P (k ^ (2/3), k ^ (1/3)) #

Vi har også brug for gradienterne af tangenterne på denne koordinat. Til den første kurve:

# y ^ 2 = x => 2y dy / dx = 1 #

Så tangentens gradient, # M_1 #, til den første kurve ved # P # er:

# (2k ^ (1/3)) m_1 = 1 => m_1 = 1 / (2k ^ (1/3)) = 1 / 2k ^ (- 1/3) #

Tilsvarende for den anden kurve:

# xy = k => y = k / x => dy / dx = -k / x ^ 2 #

Så tangentens gradient, # M_2 #, til den anden kurve ved # P # er:

# m_2 = -k / (k ^ (2/3)) ^ 2 #

# = -k ^ (- 1/3) #

Hvis disse to tangenter er vinkelret, kræver vi det:

# m_1m_2 = -1 #

#:. (1 / 2k ^ (- 1/3)) (-k ^ (- 1/3)) = -1 #

#:. k ^ (- 2/3) = 2 #

#:. (k ^ (- 2/3)) ^ (3/2) = 2 ^ (3/2) #

#:. k ^ (- 1) = 2 ^ (3/2) #

#:. (1 / k) ^ 2 = 2 ^ 3 #

#:. 1 / k ^ 2 = 8 #

Ledende til det givne resultat:

# 8k ^ 2 = 1 # QED

Og med denne værdi af # K #