Hvis a ^ 3 + b ^ 3 = 8 og a ^ 2 + b ^ 2 = 4 hvad er værdien af (a + b)?

Svar:

Der er to mulige værdier for summen, # A + b = 2 # (til # A = 2 # og # B = 0 #) eller # A + b = -4 # (til # a = -2 + i sqrt {2}, ## b = -2 - i sqrt {2}). #

Forklaring:

Der er virkelig to ukendte, summen og produktet af #en# og # B, # så lad #x = a + b # og #y = ab #.

# x ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = 2y + 4 #

# x ^ 3 = (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3ab (a + b) = 8 + 3 xy #

To ligninger i to ukendte, # 2y = x ^ 2 -4 #

# 2x ^ 3 = 16 + 3x (2y) = 16 + 3x (x ^ 2 - 4) #

# x ^ 3 -12 x + 16 = 0 #

Det kaldes en deprimeret cubic, og de har en temmelig let lukket formløsning som den kvadratiske formel. Men snarere end at røre ved det, lad os bare gætte en rod i den tid, der er hædret metode til at prøve små tal. Vi ser # X = 2 # virker så # (X-2) # er en faktor.

# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x ^ 2 - 2x + 8) = 0 #

Vi kan nu yderligere faktor

# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x-2) (x + 4) = (x-2) ^ 2 (x + 4) = 0 #

Så der er to mulige værdier for summen, # A + b = 2 # og # A + b = -4. #

Det første svar svarer til den virkelige løsning # a = 2, b = 0 # og ved symmetri # a = 0, b = 2 #. Det andet svar svarer til summen af et par komplekse konjugater. De er # a, b = -2 pm i sqrt {2} #. Kan du tjekke denne løsning?

Svar:

# (a + b) = 2, eller, a + b = -4 #

Forklaring:

# "" a ^ 2 + b ^ 2 = 4 #

# => (A + b) ^ 2-2ab = 4 #

# => 2ab = (a + b) ^ 2-4 #

# => Ab = ((a + b) ^ 2-4) / 2 #

Nu,

# "" a ^ 3 + b ^ 3 = 8 #

# => (A + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2) = 8 #

# => (A + b) (4-ab) = 8 #

# => (A + b) {4 - ((a + b) ^ 2-4) / 2} = 8 #

# => (A + b) {6 - ((a + b) ^ 2) / 2} = 8 #

Lade,

# (A + b) = x #

Så, # => X (6-x ^ 2/2) = 8 #

# => X (12-x ^ 2) = 16 #

# => X ^ 3-12x + 16 = 0 #

Overhold det #2^3-12*2+16=8-24+16=0#

#:. (X-2) # er en faktor.

Nu, # X ^ 3-12x + 16 = ul (x ^ 3-2x ^ 2) + ul (2x ^ 2-4x) -ul (8x + 16) #,

# = X ^ 2 (x-2) + 2x (x-2) -8 (x-2) #, # = (X-2) (x ^ 2 + 2x-8) #, # = (X-2) (x + 4) (x-2) #.

#:. x ^ 3-12x + 16 == 0 rArr x = 2 eller x = -4 #.

#:. a + b = 2 eller a + b = -4 #.

Grafen er angivet her.

Værdien af #farve (rød) ((a + b) = 2 eller -4. #

Håber det hjælper …

Tak skal du have…