En bold er faldet lige ned fra en højde på 12 fod. Ved at ramme jorden skubber den tilbage 1/3 af den afstand, den faldt. Hvor langt vil bolden køre (både opad og nedad), før det kommer til hvile?

Svar:

Kuglen vil rejse 24 fod.

Forklaring:

Dette problem kræver overvejelse af uendelige serier. Overvej den faktiske opførsel af bolden:

Først falder bolden 12 fod.

Herefter springer bolden op #12/3 = 4# fødder.

Bolden falder derefter 4 fod.

På hver efterfølgende hoppe rejser bolden

# 2 * 12 / (3 ^ n) = 24/3 ^ n # fødder, hvor # N # er antallet af hopper

Således, hvis vi forestiller os, at bolden starter fra #n = 0 #, så kan vores svar opnås fra den geometriske serie:

# sum_ (n = 0) ^ infty 24/3 ^ n - 12 #

Bemærk #-12# korrektion sigt, det er fordi hvis vi starter fra # N = 0 # vi tæller en 0 bounce af 12 fod op og 12 fod ned. I virkeligheden rejser bolden kun halvdelen af det, da det starter i midair.

Vi kan forenkle vores beløb til:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 #

Dette er bare en simpel geometrisk serie, der følger reglen om at:

#lim_ (n-> infty) sum_ (i = 0) ^ n r ^ i = 1 / (1 - r) #

Så længe # | R | <1 #

Dette giver en simpel løsning på vores problem:

# 24sum_ (n = 0) ^ 1/3 ^ n - 12 = 24 * 1 / (1-1 / 3) - 12 #

# = 24*1/(2/3) - 12 = 24*3/2 -12 #

#= 36 - 12 = 24# fødder.