Løs følgende ligning i naturlige tal: x² + y² = 1997 (x-y)?

Svar:

# (x, y) = (170, 145) # eller # (x, y) = (1817, 145) #

Forklaring:

Følgende bevis er baseret på, at i bogen "En introduktion til diophantinligninger: En problembaseret metode" af Titu Andreescu, Dorin Andrica, Ion Cucurezeanu.

Givet:

# X ^ 2 + y ^ 2 = 1997 (x-y) #

Lade #a = (x + y) # og #b = (1997-x + y) #

Derefter:

# a ^ 2 + b ^ 2 = (x + y) ^ 2 + (1997-x + y) ^ 2 #

# = X ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (1997 (xy) + xy) #

# = X ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (x ^ 2 + y ^ 2 + xy) #

#=1997^2#

Derfor finder vi:

# {(0 <a = x + y <1997), (0 <b = 1997-x + y <1997):} #

Siden #1997# er prime, #en# og # B # har ingen fælles faktor større end #1#.

Derfor findes der positive heltal #m, n # med #m> n # og ingen fælles faktor større end #1# sådan at:

# {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = 2mn), (b = m ^ 2-n ^ 2):} farve (hvid) (XX) "eller" farve (hvid) {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = m ^ 2-n ^ 2), (b = 2mn):}

Ser på # 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # i mod #3# og mod #5# aritmetiske finder vi:

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #3#) dermed #m - = + -1 # og # n - = + -1 # (mod #3#)

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #5#) dermed #m - = + -1 # og # n - = + -1 # (mod #5#)

Det betyder, at de eneste muligheder for #m, n # modulo #15# er #1, 4, 11, 14#.

Bemærk desuden at:

# m ^ 2 i (1997/2, 1997) #

Derfor:

#m i (sqrt (1997/2), sqrt (1997)) ~ ~ (31,6, 44,7) #

Så de eneste muligheder for # M # er #34, 41, 44#

Vi finder:

#1997 - 34^2 = 841 = 29^2#

#1997 - 41^2 = 316# ikke et perfekt firkant.

#1997 - 44^2 = 61# ikke et perfekt firkant.

Så # (m, n) = (34, 29) #

Så:

# (a, b) = (2mn, m ^ 2-n ^ 2) = (1972, 315) #

eller

# (a, b) = (m ^ 2-n ^ 2, 2mn) = (315, 1972)

#COLOR (hvid) () #

Hvis # (a, b) = (1972, 315) # derefter:

# {(x + y = 1972), (1997-x + y = 315):} #

og dermed:

# (x, y) = (1817, 145) #

#COLOR (hvid) () #

Hvis # (a, b) = (315, 1972) # derefter:

# {(x + y = 315), (1997-x + y = 1972):} #

og dermed:

# (x, y) = (170, 145) #