Bevis at det lilla skyggelagte område er lig med området for den lige sidede trekant (gul stribet cirkel)?

Svar:

Forklaring:

Området af incircle er # Pir ^ 2 #.

Noterer den rigtige trekant med hypotenuse # R # og ben # R # ved bunden af den ligesidede trekant, gennem trigonometri eller egenskaberne af #30 -60 -90 # højre trekanter vi kan etablere forholdet der # R = 2r #.

Bemærk, at vinklen modsatte # R # er #30 # siden den ligesidede trekant er #60 # vinklen blev bisected.

Denne samme trekant kan løses gennem den pythagoriske sætning for at vise, at halvdelen af sidelængden af den ligesidede trekant er #sqrt (R ^ 2-r ^ 2) = sqrt (4r ^ 2-r ^ 2) = rsqrt3 #.

Nu undersøger vi halvdelen af den lige sidede trekant som en rigtig trekant, vi ser højden # H # af den ligesidede trekant kan løses med hensyn til # R # ved hjælp af forholdet #tan (60) = h / (rsqrt3) #. Siden #tan (60) = sqrt3 #, bliver dette # H / (rsqrt3) = sqrt3 # så # H = 3r #.

Området for den ligesidede trekant er så # 1 / 2BH #, og dens base er # 2rsqrt3 # og dens højde # 3r #. Således er dens område Nr.1 / 2 (2rsqrt3) (3r) = 3r ^ 2sqrt3 #.

Arealet af den mindre skyggede region er lig med en tredjedel af arealet af den lige sidede trekant minus inkirkelen, eller Nr.1 / 3 (3r ^ 2sqrt3-pir ^ 2) # hvilket svarer til # R ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) #.

Området for den større cirkel er # Pir ^ 2 = pi (2r) ^ 2 = 4pir ^ 2 #.

Området for den større skyggelagte region er en tredjedel af den større cirkels område minus arealet af den ligesidede trekant eller Nr.1 / 3 (4pir ^ 2-3r ^ 2sqrt3) # hvilket forenkler at være # R ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) #.

Det samlede areal af det skraverede område er da # R ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) + r ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) = r ^ 2 ((3sqrt3-3sqrt3-pi + 4pi) / 3) = r ^ 2 ((3pi) / 3) = pir ^ 2 #, hvilket svarer til incircles område.

Svar:

Forklaring:

For en ligesidet trekant tyngdepunkt, center of circumcircle og orthocenter sammenfaldende.

Så Radius af cicumcircle (R) og radius af incircle (r) vil have følgende relation

#R: r = 2: 1 => R = 2r #

Nu fra figuren er det indlysende, at område af den BIG lilla skyggelagte region# = 1/3 (PIR ^ 2-Delta) #

Og område af den lille lilla skyggelagte region# = 1/3 (Delta-pir ^ 2) #

hvor # Delte # repræsenterer området af den ligesidede trekant.

Så

#farve (lilla) ("Samlet område af BIG og SMALL lilla skyggefuld region" #

# = 1/3 (PIR ^ 2-Delta) +1/3 (Delta-pir ^ 2) #

# = 1/3 (PIR ^ 2-cancelDelta + cancelDelta-pir ^ 2) #

Indsætte R = 2r

# = 1/3 (pi (2r) ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1/3 (4pir ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1 / cancel3xxcancel3pir ^ 2 #

# = pir ^ 2-> farve (orange) "område med gul stribet cirkel" #