Overvej 3 lige cirkler med radius r inden for en given cirkel af radius R hver for at røre de to andre og den givne cirkel som vist i figuren, så er området med skyggelagte områder lig med?

Vi kan danne et udtryk for området i den skyggede region som sådan:

#A_ "skygget" = piR ^ 2 - 3 (pir ^ 2) -A_ "center" #

hvor #A_ "center" # er området af den lille sektion mellem de tre mindre cirkler.

For at finde dette område kan vi tegne en trekant ved at forbinde de tre mindre hvide cirkels centre. Da hver cirkel har en radius af # R #, længden af hver side af trekanten er # 2r # og trekanten er ligesidet så har vinkler af # 60 ^ o # hver.

Vi kan således sige, at vinklen i den centrale region er området for denne trekant minus de tre sektorer i cirklen. Højden af trekanten er simpelthen #sqrt ((2r) ^ 2-r ^ 2) = sqrt (3) r ^ #, så området for trekanten er # 1/2 * base * højde = 1/2 * 2r * sqrt (3) r = sqrt (3) r ^ 2 #.

Området for de tre cirkelsegmenter inden for denne trekant er stort set det samme område som halvdelen af en af cirklerne (på grund af at have vinkler af # 60 ^ o # hver eller #1/6# en cirkel, så vi kan udlede det samlede areal af disse sektorer at være # 1/2 pir ^ 2 #.

Endelig kan vi trænere området for centrumområdet til at være #sqrt (3) r ^ 2-1 / 2pir ^ 2 = r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Således går tilbage til vores originale udtryk, området af den skyggefulde region er

# Pir ^ 2-3pir ^ 2-r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Svar:

#A = r ^ 2 (1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3)) #

Forklaring:

Lad os give de hvide cirkler en radius af # R = 1 #. Centrene danner en ligesidet trekant af siden #2#. Hver median / højde er #sqrt {3} # så afstanden fra et toppunkt til centroid er # 2/3 sqrt {3} #.

Centroid er centrum for den store cirkel, så det er afstanden mellem centrum af den store cirkel og midten af den lille cirkel. Vi tilføjer en lille radius af # R = 1 # at få

#R = 1 + 2/3 sqrt {3} #

Det område, vi søger, er området for den store cirkel mindre den ligesidede trekant og de resterende #5/6# af hver lille cirkel.

#A = pi R ^ 2 - 3 (5/6 pi r ^ 2) - sqrt {3} / 4 (2r) ^ 2 #

#A = pi (1 + 2/3 sqrt {3}) ^ 2 - 3 (5/6 pi) - sqrt {3} #

#A = 1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3) #

Vi skalere ved # R ^ 2 # generelt.