Hvordan differentierer du implicit y ^ 2 / x = x ^ 3 - 3yx ^ 2?

Svar:

Brug produkt og kvoter regler og gør en masse kedelig algebra at få # Dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / (2xy x ^ 4) #.

Forklaring:

Vi begynder på venstre side:

# Y ^ 2 / x #

For at tage derivatet af dette, skal vi bruge kvotientreglen:

# D / dx (u / v) = (u'v-uv ') / v ^ 2 #

Vi har # U = y ^ 2-> u '= 2ydy / dx # og # V = x-> v '= 1 #, så:

# D / dx (y ^ 2 / x) = ((2ydy / dx) (x) - (y ^ 2) (1)) / (x) ^ 2 #

# -> d / dx (y ^ 2 / x) = (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 #

Nu til højre side:

# X ^ 3-3yx ^ 2 #

Vi kan bruge sumregel og multiplikation af en konstant regel for at bryde dette ind i:

# D / dx (x ^ 3) -3D / dx (yx ^ 2) #

Den anden af disse vil kræve produktreglen:

# D / dx (uv) = u'v + uv '#

Med # U = y> u '= dy / dx # og # V = x ^ 2-> v '= 2x #. Så:

# D / dx (x ^ 3-3yx ^ 2) = 3x ^ 2 - ((dy / dx) (x ^ 2) + (y) (2x)) #

# -> d / dx (x ^ 3-3yx ^ 2) = 3x ^ 2-x ^ 2DY / dx + 2xy #

Vores problem lyder nu:

# (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2-x ^ 2DY / dx + 2xy #

Vi kan tilføje # X ^ 2DY / dx # til begge sider og faktor ud a # Dy / dx # at isolere det:

# (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2-x ^ 2DY / dx + 2xy #

# -> (2xydy / dx) / x ^ 2 + x ^ 2DY / DX (y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2 + 2xy #

# -> dy / dx ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) = 3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2 #

# -> dy / dx = (3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) #

Jeg håber du kan lide algebra, fordi det er en nasty ligning, der skal forenkles:

# Dy / dx = (3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) #

# -> dy / dx = ((3x ^ 4) / x ^ 2 + (2x ^ 3y) / x ^ 2 + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 4 / x ^ 2) #

# -> dy / dx = ((3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy x ^ 4) / x ^ 2) #

# -> dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / x ^ 2 * x ^ 2 / (2xy x ^ 4) #

# -> dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / (2xy x ^ 4) #

Hvordan differentierer du implicit 4 = y- (x-e ^ y) / (y-x)?

F '(x) = (ye ^ y) / ((yx) ^ 2 + ye ^ y-xe ^ y + xe ^ y) Først skal vi familiere os med nogle beregningsregler f (x) = 2x + 4 vi kan differentiere 2x og 4 separat f '(x) = dy / dx2x + dy / dx4 = 2 + 0 = 2 På samme måde kan vi differentiere 4, y og - (xe ^ y) / (yx) separat dy / dx4 = dy / dxy-dy / dx (xe ^ y) / (yx) Vi ved, at differentierende konstanter dy / dx4 = 0 0 = dy / dxy-dy / dx (xe ^ y) / (yx) Ligeledes er reglen for differentiering y dy / dxy = dy / dx 0 = dy / dx-dy / dx (xe ^ y) / (yx) Endelig at differentiere (xe ^ y) / (yx) vi skal bruge kvotientreglen Lad xe ^ y = u og Let yx = v Kvoti

Hvordan differentierer du implicit 2 = xy-ysin ^ 2x-cos ^ 2xy ^ 2?

Brug Leibniz notation, og du skal være i orden. For andet og tredje vilkår skal du anvende kæderegel et par gange.

Hvordan differentierer du implicit -y ^ 2 = e ^ (2x-4y) -2yx?

Dy / dx = ((e ^ (x-2y)) 2-y) / (2 (e ^ (x-2y)) ^ 2 + xy) Vi kan skrive dette som: 2yx-y ^ 2 = ^ (x-2y)) 2 Nu tager vi d / dx af hvert udtryk: d / dx [2yx] -d / dx [y ^ 2] = d / dx [(e ^ (x-2y)) ^ 2 ] 2yd / dx [x] + xd / dx [2y] -d / dx [y ^ 2] = 2 (e ^ (x-2y)) d / dx [e ^ (x-2y)] 2yd / dx [ x] + xd / dx [2y] -d / dx [y ^ 2] = 2 (e ^ (x-2y)) d / dx [x-2y] e ^ (x-2y) 2yd / dx [x] + xd / dx [2y] -d / dx [y ^ 2] = 2 (e ^ (x-2y)) e ^ (x-2y) (d / dx [x] -d / dx [2y]) 2y + xd / dx [2y] -d / dx [y ^ 2] = 2 (e ^ (x-2y)) 2 (1-d / dx [2y]) Ved hjælp af kædelegemet får vi: d / dx = dy / dx * d / dy 2y + dy / dxxd / dy [