Hvordan finder du området af et parallelogram med hjørner?

Svar:

Til parallelogram # ABCD # området er

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

Forklaring:

Lad os antage, at vores parallelogram # ABCD # er defineret af koordinaterne for sine fire hjørner - # X_A, y_A #, # X_B, y_B #, # X_C, y_C #, # X_D, y_D #.

For at bestemme området for vores parallelogram har vi brug for længden af dens base # | AB | # og højden # | DH | # fra vertex # D # at pege på # H # på side # AB # (det er, #DH_ | _AB #).

Først og fremmest for at forenkle opgaven, lad os flytte den til en position, når dens toppunkt #EN# falder sammen med koordinaternes oprindelse. Området vil være det samme, men beregninger bliver lettere.

Så vil vi udføre følgende transformation af koordinater:

# U = x-x_A #

# V = y-y_A #

Derefter (# U, V #) koordinater for alle hjørner vil være:

# A U_A = 0, V_B = 0 #

#B U_B = x_B-x_A, V_B = y_B-y_A #

#C U_C = x_C-x_A, v_c = y_C-y_A #

#D U_D = x_D-x_A, V_D = y_D-y_A #

Vores parallelogram er nu defineret af to vektorer:

# P = (U_B, V_B) # og # Q = (U_D, V_D) #

Bestem længden af basen # AB # som længden af vektoren # P #:

# | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #

Længden af højden # | DH | # kan udtrykkes som # | AD | * sin (/ _ BAD) #.

Længden # AD # er længden af vektoren # Q #:

# | AD | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Vinkel # / _ DÅRLIG # kan bestemmes ved anvendelse af to udtryk for det skalære (dot) produkt af vektorer # P # og # Q #:

# (P * q) = U_B * U_D + V_B * V_D = | p | * | q | * cos (/ _ BAD) #

hvorfra

# cos ^ 2 (/ _ BAD) = (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

# Sin ^ 2 (/ _ BAD) = 1-cos ^ 2 (/ _ BAD) = #

# = 1- (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) = #

(U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Nu kender vi alle komponenter til at beregne området:

Base # | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #:

Højde # | DH | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) * | U_A * V_D-V_A * U_D | / sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Området er deres produkt:

#S = | AB | * | DH | = | U_B * V_D-V_B * U_D | #

Med hensyn til originale koordinater ser det sådan ud:

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

Svar:

en anden diskussion

Forklaring:

Geometrisk bevis

I betragtning af figuren

Vi kan let oprette formlen til beregning af arealet af et parallelogram ABCD, når der er tre kendetegn (f.eks. A, B, D).

Da diagonal BD halverer parallelogrammet i to kongruente trekant.

Området for parallelogrammet ABCD

= 2 område af trekant ABD

= 2 område af trapezium BAPQ + område af fælde BQRD - område af fælde DAPR

=2Nr.1 / 2 (AP + BQ) PQ + 1/2 (BQ + DR) QR-1/2 (AP + DR) PR #

= # (Y_A + Y_B) (X_B-X_A) + (Y_B + Y_D) (X_D-X_B) - (Y_A + Y_D) (X_D-X_A) #

=# Y_AX_B + annullere (Y_BX_B) -cancel (Y_AX_A) -Y_BX_A + Y_BX_D + annullere (Y_DX_D) -cancel (Y_BX_B) -Y_AX_D-annullere (Y_DX_D) + annullere (Y_AX_A) + Y_DX_A #

=#Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) #

Denne formel vil give området for parallelogrammet.

Bevis i betragtning af vektor

Det kan også etableres overvejer #vec (AB) # og# vec (AD) #

Nu

Positionsvektor af punkt A w.r, t oprindelsen O, #vec (OA) = X_Ahati + Y_Ahatj #

Positionsvektor af punkt B w.r, t oprindelsen O, #vec (OB) = X_Bhati + Y_Bhatj #

Positionsvektor af punkt D w.r, t oprindelsen O, #vec (OD) = X_Dhati + Y_Dhatj #

Nu

Område af Parallelogram ABCD

# = Base (AD) * Højde (BE) = AD * h #

# = AD * ABsintheta = | vec (AD) Xvec (AB) | #

Igen

#vec (AD) = vec (OD) -vec (OA) = (X_D-X_A) hati + (Y_D-Y_A) hatj #

#vec (AB) = vec (OB) -vec (OA) = (X_B-X_A) hati + (Y_B-Y_A) hatj #

#vec (AD) #x#vec (AB) = (X_D-X_A) (Y_B-Y_A) - (X_B-X_A) (Y_D-Y_A) hatk #

Område = # | Vec (AD) #x#vec (AB) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D + annullere (Y_AX_A) -Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B-annullere (Y_AX_A) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) | #

Således har vi den samme formel