Svar:
Linjen er (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) xy (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / #
Forklaring:
Denne behemoth af en ligning er afledt gennem en lidt lang proces. Jeg vil først skitsere de trin, hvormed afledningen vil fortsætte og derefter udføre disse trin.
Vi får en funktion i polære koordinater, #F (theta) #. Vi kan tage derivatet, #F '(theta) #, men for at faktisk finde en linje i kartesiske koordinater, skal vi bruge # Dy / dx #.
Vi kan finde # Dy / dx # ved at bruge følgende ligning:
# th / dx = (f '(theta) sin (theta) + f (theta) cos (theta)) / (f' (theta) cos (theta) - f (theta) sin (theta)) #
Så sætter vi den hældning i den standard kartesiske linieform:
#y = mx + b #
Og indsæt de kartesiske konverterede polære koordinater for vores interessepunkt:
#x = f (theta) cos (theta) #
#y = f (theta) sin (theta) #
Et par ting, der burde være umiddelbart indlysende og vil spare os tid på linjen. Vi tager en linje, der er tangent til punktet #theta = pi #. Det betyder at #sin (theta) = 0 # så…
1) Vores ligning for # Dy / dx # vil faktisk være:
# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #
2) Vores ligninger for de kartesiske koordinater for vores punkt bliver:
#x = -f (theta) #
#y = 0 #
Begynd at rent faktisk løse problemet, så er vores første rækkefølge af virksomheden at finde #F '(theta) #. Det er ikke svært, kun tre nemme derivater med kæderegel anvendt til to:
#f '(theta) = -5-3/2 cos ((3pi) / 2 - pi / 3) + 1/2 sek ^ 2 (theta / 2 - pi / 3)
Nu vil vi gerne vide #F (pi) #:
#f (pi) = -5pi - sin ((7pi) / 6) + tan (pi / 6) #
# = -5pi - 1/2 + 1 / sqrt3 #
# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) #
Og #F '(pi) #…
(pi / 6)
# = -5 + (3sqrt3) / 4 + 2/3 #
# = (9sqrt3 - 52) / 12 #
Med disse i hånden er vi klar til at bestemme vores skråning:
# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #
# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) * 12 / (9sqrt3-52) #
# = (6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3-52) #
Vi kan tilslutte dette til som # M # i #y = mx + b #. Husk at vi tidligere har bestemt det # Y = 0 # og #x = -f (theta) #:
# 0 = - ((6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3-52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3)) + b #
# 0 = - (3 (1-10pi) + 2sqrt3) / (9sqrt3-52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (sqrt3)) + b #
# 0 = - ((sqrt3 (1-10pi) + 2) / (9sqrt3-52)) (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) + b #
#b = ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) ^ 2) / (9sqrt3-52) #
Vi kan kombinere vores tidligere målte # M # med vores nyligt besluttede # B # for at give ligningen for linjen:
(3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) xy (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / #
