Omskriv ligningen i et roteret x'y'-system uden en x'y 'term. Kan jeg få hjælp? Tak!

Svar:

Det andet valg:

# X ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Forklaring:

Den givne ligning

# 31x ^ 2 + 10sqrt3xy + 21y ^ 2-144 = 0 "1" #

er i den generelle kartesiske form for en konisk sektion:

# Axe ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 #

hvor #A = 31, B = 10sqrt3, C = 21, D = 0, E = 0 og F = -144 #

Reference Drejning af Akser giver os ligninger, der tillader os at dreje en konisk sektion til en bestemt vinkel, # Theta #. Det giver også os en ligning, der tillader os at tvinge koefficienten af # Xy # at blive 0.

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (B / (C-A)) #

Ved at erstatte værdierne fra ligning 1:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 ((10sqrt3) / (21-31)) #

Forenkle:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (-sqrt3) #

#theta = -pi / 6 #

Brug ligning (9.4.4b) for at kontrollere, at den nye rotation medfører koefficienten for # Xy # sigt at være 0:

#B '= (A-C) sin (2theta) + B cos (2theta) #

#B '= (31-21) sin (2 (-pi / 6)) + 10sqrt3cos (2 (-pi / 6)) #

#B '= 0 larr # verificeret.

Brug ligning (9.4.4a) til at beregne #EN'#:

#A '= (A + C) / 2 + (A - C) / 2 cos (2theta) - B / 2 sin (2theta)

#A '= (31 + 21) / 2 + (31-21) / 2 cos (2 (-pi / 6)) - (10sqrt3) / 2 sin (2 (-pi / 6)) #

#A '= 36 #

Brug ligning (9.4.4c) til at beregne # C '#:

#C '= (A + C) / 2 + (C - A) / 2 cos (2theta) + B / 2 sin (2theta)

#C '= (31 + 21) / 2 + (21 - 31) / 2 cos (2 (-pi / 6)) + (10sqrt3) / 2 sin (2 (-pi / 6)) #

#C '= 16 #

Brug ligning (9.4.4f) til at beregne # F '#

#F '= F #

#F '= -144 #

Nu kan vi skrive den uroterede form:

# 36x ^ 2 + 16y ^ 2-144 = 0 #

Opdel begge sider med 144:

# x ^ 2/4 + y ^ 2 / 9-1 = 0 #

Tilføj 1 til begge sider:

# X ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Svar:

Mulighed B

Forklaring:

Vi kan skrive ligningen i matrixform og derefter dreje den på hovedaksen.

Lade:

#bb x ^ T M bb x = x, y (a, b), (b, c) (x), (y) = Q #

# = (x, y) (ax + b y), (bx + cy) = Q #

# = ax ^ 2 + 2b xy + cy ^ 2 = Q #

#implies a = 31, d = 5 sqrt3, c = 21, Q = 144 #

Og så i matrixform:

#bb x ^ T (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) bb x = 144 qquad square #

At dreje akserne # BBX # ved # Theta #:

#bb x ^ '= R (theta) bb x #

• #implies bbx = R ^ (- 1) bbx ^ '#

Transponering #bb x ^ '= Rbb x #:

#implies bb x ^ ('^ T) = (Rbbx) ^ T = bb x ^ T R ^ T #

#implies bb x ^ ('^ T) = bb x ^ T R ^ (- 1) #, da R er ortogonalt

• #implies bb x ^ ('^ T) R = bb x ^ T #

Sætte disse sidste 2 resultater ind i #firkant#:

#bb x ^ ('^ T) R (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) R ^ (- 1) bb x ^' = 144 #

IOW hvis R er matrixen, der diagonaliserer M, så har vi ligningen med hensyn til dens hovedakser for diagonal egenvektormatrix D, dvs.

• #D = R M R ^ (- 1) #

M egenværdier er 36 og 16, så det kan diagonaliseres som:

#bb x ^ ('^ T) (36,0), (0, 16) bb x ^' = 144 #

# (x ', y') (9, 0), (0, 4) ((x '), (y')) = 36 #

#x ^ ('^ 2) / 4 + y ^ (' ^ 2) / 9 = 1 #