Hvad er integralet af int tan ^ 5 (x)?

Svar:

(x) + cn (sek) (x) dx = 1 / 4sec (4) (x) -sec ^ (2)

Forklaring:

#int tan ^ (5) (x) dx #

At vide, at # tan ^ (2) (x) = sec ^ 2 (x) -1 #, vi kan omskrive det som

#int (sec ^ 2 (x) -1) ^ (2) tan (x) dx #, som giver

#int sek ^ 3 (x) sec (x) tan (x) dx-2int sec ^ 2 (x) tan (x) dx + int tan (x) dx #

Første integreret:

Lade # u = sec (x) -> du = sec (x) tan (x) dx #

Andet integreret:

Lade #u = sec (x) -> du = sec (x) tan (x) dx #

Derfor

#int u ^ 3 du - 2int du du + int tan (x) dx #

Bemærk også det #int tan (x) dx = ln | sec (x) | + C #, hvilket giver os

# 1/4 u ^ 4 - 1/2 u ^ 2 + ln | sec (x) | + C #

substituere # U # tilbage i udtrykket giver os vores endelige resultat af

# 1/4 sek ^ (4) (x) -cancel (2) * (1 / annullere (2)) sec ^ (2) (x) + ln | sec (x) | + C #

Dermed

(x) + cn (sek) (x) dx = 1 / 4sec (4) (x) -sec ^ (2)

Hvad er integralet af int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C Vores store problem i dette integral er roden, så vi vil slippe af med det. Vi kan gøre dette ved at indføre en substitution u = sqrt (2x-1). Derivatet er så (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) Så vi deler gennem (og husk at dividere ved en gensidig er det samme som at multiplicere med kun nævneren) for at integrere med hensyn til u: int x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / annullere (sqrt (2x-1)) annullere (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du Nu er alt, hvad vi skal gøre, udtrykt x ^ 2 med hensyn t

Hvad er integralet af int (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) dx?

1/2 [-ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1))] + sqrt (1 + e ^ (2x)) + C Først erstatter vi: u = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 (du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = 2e ^ (2x)) intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) anden substitution: v ^ 2 = u; v = sqrt (u) 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2 -1) (v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v-1) 1) 1 = A (v-1) + B (v + 1) v = 1: 1 = 2B, B = 1/2 v = -1: 1 = -2A, A = -1 / 2 Nu har vi: -1 / (2 (v + 1)) + 1 / (2 (v-1)) int1 + 1 / ((v + 1) (v-1)) dv = int1-1 / (2 (v + 1 ) +

Hvad er integralet af int tan ^ 4x dx?

(tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C Løsning af trig antiderivativer involverer normalt at bryde integralet ned for at anvende pythagoranske identiteter, og dem ved hjælp af en u-substitution. Det er præcis det, vi skal gøre her. Begynd med at omskrive inttan ^ 4xdx som inttan ^ 2xtan ^ 2xdx. Nu kan vi anvende Pythagorean Identity tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x eller tan ^ 2x = sec ^ 2x-1: inttan ^ 2xtan ^ 2xdx = int (sec ^ 2x-1) tan ^ 2xdx Fordeling af tan ^ 2x : farve (hvid) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2x-tan ^ 2xdx Anvendelse af sumregeln: farve (hvid) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx Vi evaluerer disse integr