Hvad er integralet af int tan ^ 4x dx?

Svar:

# (Tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C #

Forklaring:

Løsning af trig antiderivativer indebærer normalt at bryde integralet ned for at anvende pythagoranske identiteter, og dem bruger a # U #substitution. Det er præcis det, vi skal gøre her.

Begynd med at omskrive # Inttan ^ 4xdx # som # Inttan ^ 2xtan ^ 2xdx #. Nu kan vi anvende den pythagoranske identitet # Tan ^ 2x + 1 = sek ^ 2x #, eller # Tan ^ 2x = sec ^ 2x-1 #:

# Inttan ^ 2xtan ^ 2xdx = int (sec ^ 2x-1) tan ^ 2xdx #

Distribution af # Tan ^ 2x #:

#COLOR (hvid) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2xtan ^ 2xdx #

Anvendelse af summen regel:

#COLOR (hvid) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx #

Vi vurderer disse integraler en efter en.

Første integreret

Denne er løst ved hjælp af a # U #substitution:

Lade # U = tanx #

# (Du) / dx = sec ^ 2x #

# Du = sek ^ 2xdx #

Anvendelse af substitutionen, #COLOR (hvid) (XX) intsec ^ 2xtan ^ 2xdx = Intu ^ 2DU #

#COLOR (hvid) (XX) = u ^ 3/3 + C #

Fordi # U = tanx #, # Intsec ^ 2xtan ^ 2xdx = (tan ^ 3x) / 3 + C #

Anden integreret

Da vi ikke rigtig ved hvad # Inttan ^ 2xdx # er ved bare at kigge på det, prøv at anvende # Tan ^ 2 = sec ^ 2x-1 # identitet igen:

# Inttan ^ 2xdx = int (sec ^ 2x-1) dx #

Ved hjælp af sumregelen koger integralet ned til:

# Intsec ^ 2xdx-int1dx #

Den første af disse, # Intsec ^ 2xdx #, er bare # Tanx + C #. Den anden, den såkaldte "perfekte integral", er simpelthen # X + C #. Sætter det hele sammen kan vi sige:

# Inttan ^ 2xdx = tanx + C-x + C #

Og fordi # C + C # er bare en anden vilkårlig konstant, vi kan kombinere den til en generel konstant # C #:

# Inttan ^ 2xdx = tanx-x + C #

Ved at kombinere de to resultater har vi:

# Inttan ^ 4xdx = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx = ((tan ^ 3x) / 3 + C) - (tanx-x + C) = (tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C #

Igen, fordi # C + C # er en konstant, vi kan slutte dem til en # C #.

Hvad er integralet af int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C Vores store problem i dette integral er roden, så vi vil slippe af med det. Vi kan gøre dette ved at indføre en substitution u = sqrt (2x-1). Derivatet er så (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) Så vi deler gennem (og husk at dividere ved en gensidig er det samme som at multiplicere med kun nævneren) for at integrere med hensyn til u: int x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / annullere (sqrt (2x-1)) annullere (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du Nu er alt, hvad vi skal gøre, udtrykt x ^ 2 med hensyn t

Hvad er integralet af int (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) dx?

1/2 [-ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1))] + sqrt (1 + e ^ (2x)) + C Først erstatter vi: u = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 (du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = 2e ^ (2x)) intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) anden substitution: v ^ 2 = u; v = sqrt (u) 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2 -1) (v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v-1) 1) 1 = A (v-1) + B (v + 1) v = 1: 1 = 2B, B = 1/2 v = -1: 1 = -2A, A = -1 / 2 Nu har vi: -1 / (2 (v + 1)) + 1 / (2 (v-1)) int1 + 1 / ((v + 1) (v-1)) dv = int1-1 / (2 (v + 1 ) +

Hvad er integralet af int tan ^ 5 (x)?

(x) xx (2) (x) + ln | sec (x) | + C int tan ^ (5) (x) dx At vide, at tan ^ (2) (x) = sec ^ 2 (x) -1, kan vi omskrive det som int (sec ^ 2 (x) -1) ^ (2) tan (x) dx, hvilket giver int sek ^ 3 (x) sek (x) tan (x) dx-2int sec ^ 2 (x) tan (x) dx + int tan (x) dx Første integral: Lad u = sec (x) -> du = sec (x) tan (x) dx Således er du intet (x) -> du = sec (x) tan (x) dx Derfor er du Bemærk at int tan (x) dx = ln | sec (x) | + C, hvilket giver os 1/4 u ^ 4 - 1/2 u ^ 2 + ln | sec (x) | + C Ved at erstatte dig tilbage i udtrykket giver vi vores endelige resultat af 1 / 4sec (4) (x) -cancel (2) * (1 / annuller