Svar:
Start med
# -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y - sec (xy) #
Lad os erstatte sekanten med en cosine.
# -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy) #
Nu tager vi derivatet WRT x på begge sider!
# d / dx -1 = d / dx (x y ^ 2 + x ^ 2 - e ^ y -1 / cos (xy)) #
Derivatet af en konstant er nul, og derivatet er lineært!
# 0 = d / dx (x y ^ 2) + d / dx (x ^ 2 y) - d / dx (ey) -d / dx (1 / cos (xy)) #
Nu bruger du produktreglen på bare de første to vilkår, vi får!
# 0 = {d / dx (x) y ^ 2 + xd / dx (y ^ 2)} + {d / dx (x ^ 2) y + x ^ 2 d / dx y} - d / dx y) -d / dx (1 / cos (xy)) #
Næste masser og masser af sjov med kædelegemet! Se sidste sigt!
(gør også de simple x derivater)
# 0 = {1 * y ^ 2 + x * (d / dy y ^ 2) * dy / dx} + {2x * y + x ^ 2 * d / dy y * dy / dx} - {d / dy e ^ y} {dy / dx} #
# -d / {d cos (xy)} (cos (xy)) ^ (- 1) * d / {d xy} cos (xy) * d / dx {xy}
At gøre nogle af disse y-derivater, xyderivater og cos (xy) -derivater gør også produktreglen og kæden regel endnu en gang i sidste del af sidste sigt.
# 0 = {y ^ 2 + x * 2 * y * dy / dx} + {2xy + x ^ 2 * 1 * dy / dx} - e ^ y {dy / dx} #
# - (-1) (cos (xy)) ^ (- 2) * - sin (xy) * (dx / dx y + x dy / dy dy / dx)
Nyd lidt og afslut alle derivaterne
# 0 = y ^ 2 + 2xy dy / dx + 2xy + x ^ 2 dy / dx - e ^ y dy / dx #
# - (sin (xy) / cos ^ 2 (xy)) (y + x dy / dx) #
Nu adskilles i term med # Dx / dy # og uden
# 0 = y ^ 2 + 2xy-y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) + #
# 2xy dy / dx + x ^ 2 dy / dx - e ^ y dy / dx - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy) dy / dx #
Bring alting uden # Dy / dx # til den ene side og indsamling som udtryk på den anden side
# y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) - y ^ 2 - 2xy = #
# (2xy + x ^ 2 - e ^ y - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy)) dy / dx #
Opdele dog at finde # Dy / dx #
# dy / dx = {y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) - y ^ 2 - 2xy} / {2xy + x ^ 2 - e ^ y - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy)} #
Det var meget længe!
Forklaring:
Gik med en meget lang forklaring med simpelt eksempel fordi implisitt differentiering kan være vanskelig og kædelegemet er meget meget meget vigtigt.
Du skal bruge omkring tre BIG Calculus regler til at løse dette og tre specifikke funktion derivater.
1) Lineariteten af derivatet.
# d / dx (A + B + C + D) = d / dx (A) + d / dx (B) + d / dx (C) + d / dx
2) Produktreglen.
# d / dx (f (x) * g (x)) = (f (x)) * d / dx g (x) + (d / dx f (x)) * g (x)
3) Det vigtigste begreb i implicit differentiering er langt
kæden regel. For sammensatte funktioner, funktioner af andre funktioner, #F (u (x)) # vi har, # d / dx (f (u (x))) = d / {du} f (u (x)) du / dx #.
Du kan fortsætte med dette
# d / dx (f (u (y (x)))) = d / {du} f (u) {du} / {dy} {dy} / {dx}, og om og om og om. Bemærk # Dx / dx = 1 #.
Eksempel: Hvis du har en funktion af en funktion #F (u) # hvor # U # er en funuction af #x#. dvs. #F (x) = sqrt (1-x ^ 2) # (Her #F (u) = sqrt (u) # og #u (x) = 1-x ^ 2 #.
d / dx sqrt (1 x x 2) = d / dx (1 x x 2) ^ {1/2} = (d / {du} (u ^ {1/2})) dx (1-x ^ 2)) #
# = 1/2 (u ^ {- 1/2}) * (-2x) # minde om # U = (1-x ^ 2) #
# = - x (1-x ^ 2) ^ {- 1/2} = -x / {sqrt (1-x ^ 2} #
Udtryk for specifikke funktioner.
A) Hvordan man tager derivatet af kraftfunktioner, #f (x) = c x ^ n #.
# d / dx (c * x ^ n) = c * n * x ^ {n-1} #
B) Hvordan man tager derivatet af # E ^ x #.
# d / dx (e ^ x) = e ^ x # <- kedelig eh?
C) Hvordan man tager derivatet af # cos (x) # fordi # sec (x) = 1 / { cos (x)} #.
# d / dx (cos x) = - sin x #
Nøglen til implicit differentiering er at bruge kædelegemet til at tage derivatet wrt x af og funktionen af både x og y, som en cirkel.
# 9 = x ^ 2 + y ^ 2 #
# d / dx 9 = d / dx (x ^ 2 + y ^ 2) = d / dx (x ^ 2) + d / dx (y ^ 2)
# 0 = 2x + d / dy y ^ 2 * dy / dx #
# 0 = 2x + 2y * dy / dx #
# -2x = 2y * dy / dx #
# dy / dx = -x / y #
