Hvad er den generelle formel for diskriminanten af et polynom af grad n?

Svar:

Se forklaring …

Forklaring:

Diskriminanten af et polynom #F (x) # af grad # N # kan beskrives i forhold til determinanten af Sylvester matrixen af #F (x) # og #F '(x) # som følger:

Givet:

#f (x) = a_nx ^ n + a_ (n-1) x ^ (n-1) + … + a_1x + a_0 #

Vi har:

# n '(x) = na_ (n-1) x ^ (n-1) + (n-1) a_ (n-1) x ^ (n-2) + … + a_1 #

The Sylvester matrix af #F (x) # og #F '(x) # er en # (2n-1) xx (2n-1) # matrix dannet under anvendelse af deres koefficienter, svarende til det følgende eksempel for # N = 4 # …

(0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, 0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0), (4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0, 0), (0,4a_4,3a_3,2a_2, a_1,0,0), (0, 0, 4a_4, 3a3, 2a_2, a_1, 0),, 0, 0, 4a_4,3a_3,2a_2, a_1)) #

Derefter diskriminanten # Delta # er givet i form af determinanten af Sylvester-matrixen med formlen:

# Delta = (-1) ^ (1 / 2n (n-1)) / a_nabs (S_n) #

Til # N = 2 # vi har:

#Delta = (-1) / a_2abs ((a_2, a_1, a_0), (2a_2, a_1,0), (0,2a_2, a_1)) = a_1 ^ 2-4a_2a_0 #

(som du måske finder mere genkendelig i formularen #Delta = b ^ 2-4ac #)

Til # N = 3 # vi har:

#Delta = (-1) / a_3abs ((a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, a_3, a_2, a_1, a_0), (3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0), (0, 3a_3, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 3a_3, 2a_2, a_1)) #

#color (hvid) (Delta) = a_2 ^ 2a_1 ^ 2-4a_3a_1 ^ 3-4a_2 ^ 3a_0-27a_3 ^ 2a_0 ^ 2 + 18a_3a_2a_1a_0 #

Diskriminanterne for kvadrater (# N = 2 #) og cubics (# N = 3 #) er de mest nyttige, idet de fortæller dig præcis, hvor mange reelle, gentagne eller ikke-reelle komplekse nuller et polynomium har.

Fortolkningen af diskriminanten for højere ordenspolynomer er mere begrænset, men har altid den egenskab, at polynomet har gentaget nuller, hvis og kun hvis diskriminanten er nul.

#COLOR (hvid) () #

Yderligere læsning

Se