Hvordan finder du synd (x / 2), cos (x / 2) og tan (x / 2) fra den givne barneseng (x) = 13?

Svar:

Der er faktisk fire værdier for # X / 2 # på enheden cirkel, så fire værdier for hver trig-funktion. Hovedværdien af halvvinklen er omkring # 2.2 ^ circ. #

#cos (1 / 2text {Arc} tekst {cot} 13) = cos 2.2 ^ cir = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

#sin (1 / 2text {Arc} tekst {cot} 13) = synd 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

#tan (1 / 2tekst {Arc} tekst {cot} 13) = tan 2.2 ^ cir = sqrt (170) - 13 #

Se venligst forklaringen til de andre.

Forklaring:

Lad os tale om svaret lidt først. Der er to vinkler på enhedens cirkel, hvis cotangent er #13#. Den ene er omkring # 4.4 ^ circ #, og en anden er det plus # 180 ^ circ #, kald det # 184,4 ^ circ #. Hver af dem har to halvvinkler, igen adskilt af # 180 ^ circ. # Den første har halvvinkler # 2.2 ^ circ # og # 182,2 ^ circ #, den anden har halvvinkler # 92,2 ^ circ # og # 272,2 ^ circ #, Så der er virkelig fire halvvinkler i spørgsmål med forskellige men relaterede værdier for deres trig funktioner.

Vi bruger ovennævnte vinkler som tilnærmelser, så vi har navne til dem.

Vinkler med cotangent på 13:

#text {Arc} tekst {cot} 13 ca. 4.4 ^ cirk #

# 180 ^ cirk + tekst {Arc} tekst {cot} 13 ca. 184.4 ^ cirk #

Halvvinkler:

# 1/2 tekst {Arc} tekst {cot} 13 ca. 2.2 ^ cirk #

# 1/2 (360 ^ cirk + tekst {Arc} tekst {cot} 13) ca. 182,2 ^ cirkel #

# 1/2 (180 ^ cirk + tekst {Arc} tekst {cot} 13) ca. 92,2 ^ circ #

# 1/2 (360 ^ cirk + 180 ^ cirk + tekst {Arc} tekst {cot} 13) ca. 272,2 ^ cirkel #

OK, de dobbelte vinkelformler for cosinus er:

#cos (2a) = 2 cos ^ 2 a - 1 = 1 - sin ^ 2 a #

så de relevante halvvinkelformler er

#sin a = pm sqrt {1/2 (1-cos (2a))} #

#cos a = pm sqrt {1/2 (1 + cos (2a))} #

Det er alle foreløbige. Lad os gøre problemet.

Vi vil lave den lille vinkel først, # 2.2 ^ circ. # Vi ser resten af dem er blot multipler af # 90 ^ circ # over det, så vi kan få deres trig-funktioner fra denne første vinkel.

En cotangent på 13 er en hældning på #1/13# svarer således til en rigtig trekant med modsat #1#, tilstødende #13# og hypotenuse #sqrt {13 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {170}. #

#cos (tekst {Arc} tekst {cot} 13) = cos 4.4 ^ circ = {13} / sqrt {170} #

#sin (tekst {Arc} tekst {cot} 13) = sin 4.4 ^ circ = {1} / sqrt {170} #

Nu anvender vi halvvinkelformlerne. For vores teenyvinkel i den første kvadrant vælger vi de positive tegn.

#cos (1 / 2text {Arc} tekst {cot} 13) = cos 2.2 ^ cir = sqrt {1/2 (1 + cos (4,4 ^ cirk))} = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

Vi kunne forsøge at forenkle og flytte fraktionerne udenfor radikalet, men jeg skal bare forlade det her.

#sin (1 / 2text {Arc} tekst {cot} 13) = synd 2.2 ^ cir = sqrt {1/2 (1 - cos (4,4 ^ cirk))} = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

Den snævre halvvinkel er kvotienten for dem, men det er lettere at bruge

# tan (theta / 2) = {sin theta} / {1 + cos theta} #

#tan (1 / 2text {Arc} tekst {cot} 13) = tan 2.2 ^ circ = {1 / sqrt {170}} / {1 + {13} / sqrt {170}} = sqrt

OK, det er hele den hårde del, men lad os ikke glemme de andre vinkler.

# cos 182.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

#sin 182.2 ^ circ = -in 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

# tan 182.2 ^ circ = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #

Nu har vi de resterende vinkler, som bytter sinus og cosinus, flipper tegn. Vi vil ikke gentage formularerne bortset fra tangent.

# cos 92,2 ^ circ = - synd 2.2 ^ cirk #

#sin 92.2 ^ circ = cos 2.2 ^ circ #

# tan 92,2 ^ cir = -1 / {tan 2,2 ^ circ} = -13 - sqrt (170) #

# cos 272.2 ^ circ = synd 2.2 ^ cirk #

# i 272,2 ^ cir = - cos 2,2 ^ cirkel #

# tan 272,2 ^ cir = tan 92,2 ^ circ = -13 - sqrt (170) #

Pyha.

Svar:

#color (indigo) (tan (x / 2) = 0,0384, sin (x / 2) = + -0,0384, cos (x / 2) = + - 1 #

#color (crimson) (tan (x / 2) = -26,0384, sin (x / 2) = + - 0,9993, cos (x / 2) = + - 0,0384 #

Forklaring:

# tan (2x) = (2 tan x) / (1 - tan ^ 2x) #

#sin 2x = (2 tan x) / (1 + tan ^ 2 x) #

+ cos 2x = (l-2tan ^ 2 x) / (1 + tan ^ 2 x) #

#cot x = 1 / tan x = 13 #

#tan x = 1/13 #

#tan x = 1/13 = (2 tan (x / 2)) / (1 - tan ^ 2 (x / 2)

# 1 - tan ^ 2 (x / 2) = 26 tan (x / 2) #

# tan * 2 (x / 2) + 26 tan (x / 2) - 1 = 0 #

#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (26 ^ 2 + 4)) / 2 #

#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (680)) / 2 #

#tan (x / 2) = 0,0384, -26,0384 #

# csc ^ 2x = 1 + barneseng ^ 2 x #

#:. csc ^ 2 (x / 2) = 1 + cot ^ 2 (x / 2) #

Men wen kender #cot (x / 2) = 1 / tan (x / 2) #

Hvornår #tan (x / 2) = 0.0384 #, # csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / 0,0384) ^ 2 = 679.1684 #

#csc (x / 2) = sqrt (679.1684) = + -26.0609 #

#sin (x / 2) = + - (1 / 26.0609) = + -0.0384 #

#cos (x / 2) = synd (x / 2) / tan (x / 2) = + - 0,0384 / 0,0384 = + - 1 #

Hvornår #tan (x / 2) = -26.0384 #, #csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / (-26.0384) ^ 2) = 1.0015 #

#sin (x / 2) = 1 / sqrt (1.0015) = + -0.9993 #

#cos (x / 2) = synd (x / 2) / tan (x / 2) = + -0,9993 / -26.0384 = + -0.0384 #