Den fælles ratio af en ggeometrisk progression er r Progressionens første term er (r ^ 2-3r + 2) og summen af uendelighed er S Vis at S = 2-r (jeg har) Find sæt af mulige værdier, som S kan tage?

Svar:

# S = a / {1-r} = {r ^ 2-3r + 2} / {1-r} = {(r-1) (r-2)} / {1-r} = 2-r #

Siden # | R | <1 # vi får # 1 <S <3 #

Forklaring:

Vi har

# S = sum_ {k = 0} ^ {infty} (r ^ 2-3r + 2) r ^ k #

Den generelle sum af en uendelig geometrisk serie er

#sum_ {k = 0} ^ {infty} a r ^ k = a / {1-r} #

I vores tilfælde

#S = {r ^ 2-3r + 2} / {1-r} = {(r-1) (r-2)} / {1-r} = 2-r #

Geometriske serier konvergerer kun når # | R | <1 #, så får vi det

# 1 <S <3 #

Svar:

#farve (blå) (1 <S <3) #

Forklaring:

# Ar ^ (n-1) #

Hvor # BBR # er det fælles forhold, # BBA # er den første sigt og # BBN # er det nste udtryk.

Vi bliver fortalt, at fælles forhold er # R #

Første sigt er # (R ^ 2-3r + 2) #

Summen af en geometrisk serie er angivet som:

# A ((1-r ^ n) / (1-r)) #

For summen til uendelig forenkles dette til:

# A / (1-r) #

Vi får at vide, at dette beløb er S.

Erstatter i vores værdier for a og r:

# (R ^ 2-3r + 2) / (1-r) = S #

Faktor tælleren:

# ((R-1) (r-2)) / (1-r) = S #

Multiplicer tæller og nævneren ved #-1#

# ((R-1) (2-r)) / (r-1) = S #

Annullering:

# (Annullere ((r-1)) (2-r)) / (annullere ((1-r))) = S #

# S = 2-r #

For at finde de mulige værdier husker vi, at en geometrisk serie kun har en sum til uendelig, hvis # -1 <r <1 #

# 2-1 <2 -r <1 + 2 #

# 1 <2-r <3 #

dvs.

# 1 <S <3 #