Hvad er derivatet af x ^ x?

Svar:

# Dy / dx = x ^ x (ln (x) + 1) #

Forklaring:

Vi har:

# Y = x ^ x # Lad os tage den naturlige log på begge sider.

#ln (y) = ln (x ^ x) # Brug af det faktum at #log_a (b ^ c) = clog_a (b) #, # => Ln (y) = xln (x) # ansøge # D / dx # på begge sider.

# => D / dx (ln (y)) = d / dx (xln (x)) #

Kæden regel:

Hvis #F (x) = g (h (x)) #, derefter #F '(x) = g' (h (x)) * h '(x) #

Strømregel:

# D / dx (x ^ n) = nx ^ (n-1) # hvis # N # er en konstant.

Også, # D / dx (LNX) = 1 / x #

Endelig er produktreglen:

Hvis #F (x) = g (x) * h (x) #, derefter #F '(x) = g' (x) * h (x) + g (x) * h '(x) #

Vi har:

# => Dy / dx * 1 / y = d / dx (x) * ln (x) + x * d / dx (ln (x)) #

# => Dy / dx * 1 / y = 1 * ln (x) + x * 1 / x #

# => Dy / dx * 1 / y = ln (x) + cancelx * 1 / cancelx #

(Vær ikke bekymret for hvornår # X = 0 #, fordi #ln (0) # er udefineret)

# => Dy / dx * 1 / y = ln (x) + 1 #

# => Dy / dx = y (ln (x) + 1) #

Nu siden # Y = x ^ x #, vi kan erstatte # Y #.

# => Dy / dx = x ^ x (ln (x) + 1) #