Hvad er værdierne for r (med r> 0) for hvilken serien konvergerer?

Svar:

#R <1 / e # er betingelsen for konvergensen af #sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) #

Forklaring:

Jeg vil bare svare på den del om konvergensen, hvor den første del er blevet besvaret i kommentarerne. Vi kan bruge # R ^ ln (n) = n ^ ln (r) # at omskrive summen #sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) # i formularen

(n = 1) ^ oo 1 / n ^ p, qquad mbox {for} p = -In (r) #

Serien til højre er serieformularen til den berømte Riemann Zeta-funktion. Det er velkendt, at denne serie konvergerer, når #p> 1 #. Brug af dette resultat giver direkte

# -ln (r)> 1 betyder ln (r) <- 1 betyder r <e ^ -1 = 1 / e #

Resultatet af Riemann Zeta funktionerne er meget velkendt, hvis du vil have en ab initio svar, du kan prøve den integrerede test for konvergens.