Bevis at tallet sqrt (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) ikke er rationelt for ethvert naturligt tal n større end 1?

Svar:

Se forklaring …

Forklaring:

Formode:

#sqrt (1 + sqrt (2 + … + sqrt (n))) # er rationel

Derefter skal firkanten være rationel, dvs.

# 1 + sqrt (2 + … + sqrt (n)) #

og dermed er det også:

#sqrt (2 + sqrt (3 + … + sqrt (n))) #

Vi kan gentagne gange kvadratiske og subtrahere for at finde ud af, at følgende skal være rationelle:

# {(sqrt (n-1 + sqrt (n))), (sqrt (n)):} #

Derfor # N = k ^ 2 # for nogle positive heltal # k> 1 # og:

#sqrt (n-1 + sqrt (n)) = sqrt (k ^ 2 + k-1) #

Noter det:

# k ^ 2 <k ^ 2 + k-1 <k ^ 2 + 2k + 1 = (k + 1) ^ 2 #

Derfor # K ^ 2 + k-1 # er ikke kvadratet af et helt tal enten og #sqrt (k ^ 2 + k-1) # er irrationel, modsiger vores påstand om at #sqrt (n-1 + sqrt (n)) # er rationel.

Svar:

Se nedenunder.

Forklaring:

Antages

#sqrt (1 + sqrt (2 + cdots + sqrt (n))) = p / q # med # P / q # ikke reducerbare vi har

#sqrtn = (cdots (((p / q) ^ 2-1) ^ 2-2) ^ 2 cdots - (n-1)) = P / Q #

hvilket er en absurd, fordi ifølge dette resultat er enhver kvadratrode af et positivt helt tal rationel.