Hvad er derivatet af x ^ n?

Til funktionen #F (x) = x ^ n #, n skal ikke lig med 0, af grunde, der bliver tydelige. n skal også være et helt tal eller et rationelt tal (dvs. en brøkdel).

Reglen er:

#f (x) = x ^ n => f '(x) = nx ^ (n-1) #

Med andre ord "låner" vi kraften af x og gør det til derivatets koefficient, og trækker derefter 1 fra strømmen.

#f (x) = x ^ 2 => f '(x) = 2x ^ 1 #

#f (x) = x ^ 7 => f '(x) = 7x ^ 6 #

#f (x) = x ^ (1/2) => f '(x) = 1/2 * x ^ (- 1/2) #

Som jeg nævnte, er den specielle sag hvor n = 0. Det betyder at

#F (x) = x ^ 0 = 1 #

Vi kan bruge vores regel og teknisk set få det rigtige svar:

#f '(x) = 0x ^ -1 = 0 #

Men senere ned ad sporet vil vi løbe ind i komplikationer, når vi forsøger at bruge omvendt af denne regel.

Svar:

# y ^ '= nx ^ (n-1) #

Nedenfor er beviser for hvert tal, men kun beviset for alle heltal bruger den grundlæggende færdighed af definitionen af derivater. Beviset for alle rationaler bruger kædelegemet, og irrationelle anvender implicit differentiering.

Forklaring:

Når det er sagt, vil jeg vise dem alle her, så du kan forstå processen. Pas på, at det #vilje# være temmelig lang.

Fra #y = x ^ (n) #, hvis #n = 0 # vi har #y = 1 # og derivatet af en konstant er alsways nul.

Hvis # N # er ethvert andet positivt heltal vi kan smide det i derivatformlen og bruge binomial sætningen til at løse rodet.

#y = lim_ (h rarr 0) ((x + h) ^ n - x ^ n) / h #

# x = lim_ (h rarr 0) (x ^ n + Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) - x ^ n) / h #

Hvor # K_i # er den passende konstant

# y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) / h #

Opdele det # H #

# y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ nK_i * x ^ (n-i) h ^ (i-1) #

Vi kan tage det første udtryk ud af summen

# y = lim_ (h rarr 0) K_1 * x ^ (n-1) + Sigma_ (i = 2) ^ nK_ix ^ (n-i) h ^ (i-1) #

Med grænsen går alt andet i summen til nul. beregning # K_1 # vi ser at det er lig med # N #, så

#y = K_1 * x ^ (n-1) = nx ^ (n-1) #

Til # N # der er negative heltal er det lidt mere kompliceret. At vide det # x ^ -n = 1 / x ^ b #, sådan at #b = -n # og er derfor positiv.

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h (1 / (x + h) ^ b - 1 / x ^ b) #

# x = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - (x + h) ^ b) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

# y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - x ^ b - Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ i) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

(i-1) ^ bK_ix ^ (b-i) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

Tag det første semester ud

(i = 2) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

Tag grænsen, hvor # K_1 = b #, med at sætte det tilbage til # N #

(b-1) / (x ^ b * x ^ b) = -K_1x ^ (b-1-2b) = -K_1x ^ (-b-1) = nx ^ (n-1) #

For rationaler skal vi bruge kædelegemet. dvs.: # f (g (x)) ^ '= f ^' (g (x)) g ^ '(x)

Så ved det # x ^ (1 / n) = root (n) (x) # og antager #n = 1 / b # vi har

# (x ^ n) ^ b = x #

Hvis # B # Selv er svaret teknisk # | X | # men det er tæt nok til vores formål

Så, ved hjælp af kæden regel vi har

# x ^ n ^ '= 1 / (bx ^ (nb-n)) = 1 / (bx ^ (1-n)) = nx ^ (n - 1)

Og sidst men ikke mindst, ved hjælp af implicit differentiering kan vi bevise for alle reelle tal, herunder irrationelle.

#y = x ^ n #

#ln (y) = n * ln (x) #

#y ^ '/ y = n / x #

# y ^ '= (nx ^ n) / x = nx ^ (n-1) #