Hvordan løser du polynom ulighed og angiver svaret i interval notation givet x ^ 6 + x ^ 3> = 6?

Svar:

Ujævnelsen er kvadratisk i form.

Forklaring:

Trin 1: Vi kræver nul på den ene side.

# x ^ 6 + x ^ 3 - 6 ge 0 #

Trin 2: Siden venstre side består af en konstant term, et mellemfrist og et udtryk, hvis eksponent er nøjagtigt det dobbelte på mellemfristen, er denne ligning kvadratisk "i form". Vi enten faktor det som en kvadratisk, eller vi bruger den kvadratiske formel. I dette tilfælde er vi i stand til at faktor.

Ligesom # y ^ 2 + y - 6 = (y + 3) (y - 2) #, vi har nu

(x ^ 3 - 2).

Vi behandler # X ^ 3 # som om det var en simpel variabel, y.

Hvis det er mere nyttigt, kan du erstatte #y = x ^ 3 #, så løse for y, og endelig erstatte tilbage til x.

Trin 3: Indstil hver faktor lig med nul hver for sig, og løse ligningen # x ^ 6 + x ^ 3 - 6 = 0 #. Vi finder, hvor venstre side er lig med nul, fordi disse værdier vil være grænserne for vores ulighed.

# x ^ 3 + 3 = 0 #

# x ^ 3 = -3 #

#x = -rot (3) 3 #

# x ^ 3 -2 = 0 #

# x ^ 3 = -2 #

#x = rod (3) 2 #

Disse er de to reelle rødder i ligningen.

De adskiller den rigtige linje i tre intervaller:

# (- oo, -rot (3) 3); (-rot (3) 3, rod (3) 2); og (root (3) 2, oo) #.

Trin 4: Bestem tegn på venstre side af uligheden på hvert af ovennævnte intervaller.

Brug af testpunkter er den sædvanlige metode. Vælg en værdi fra hvert interval, og erstat det for x i venstre side af uligheden. Vi kan vælge -2, derefter 0 og derefter 2.

Du vil opdage, at venstre side er

positiv på # (- oo, -rot (3) 3) #;

negativ på # (- root (3) 3, root (3) 2) #;

og positivt på # (root (3) 2, oo) #.

Trin 5: Afslut problemet.

Vi er interesserede i at vide hvor # x ^ 6 + x ^ 3 - 6 ge 0 #.

Vi ved nu, hvor venstre side er 0, og vi ved, hvor det er positivt. Skriv disse oplysninger i intervalformular som:

# (- oo, -rot (3) 3 uu root (3) 2, oo) #.

BEMÆRK: Vi har beslagene, fordi de to sider af uligheden er lige på disse punkter, og det oprindelige problem kræver for os at omfatte disse værdier. Havde problemet brugt #># i stedet for # Ge #, vi ville have brugt parenteser.