X ^ 4-4x ^ 3 + x ^ 2 + 4x + 1 = 0. Sådan løser du x?

Svar:

# X = (1 + -sqrt5) / 2, x = (3 + -sqrt13) / 2 #

Forklaring:

Da denne kvartik ikke har rationelle rødder (og jeg kan ikke forstyrres med formlerne), begynder vi med at bruge Newtons metode til at approximere rødderne:

# x ~~ -0,303 #

# x ~~ -0,618 #

# x ~~ 1,618 #

# x ~~ 3,303 #

Af disse finder vi det # x ~~ -0,618 # og # x ~~ 1,618 # skille sig ud. Vi anerkender disse som det gyldne forhold:

# X = (1 + -sqrt5) / 2 #

Vi kan også kontrollere, at de er rødder ved at sætte dem i ligningen, men du kan bare tage mit ord, at de rent faktisk er rødder.

Dette betyder, at følgende er en faktor af ligningen:

# (X- (1 + sqrt5) / 2) (x- (1-sqrt5) / 2) = #

# = ((X-1/2) + sqrt5 / 2) ((x-1/2) -sqrt5 / 2) = #

# = (X-1/2) ^ 2- (sqrt5 / 2) ^ 2 = x ^ 2-x + 1 / 4-5 / 4 = #

# = X ^ 2-x-1 #

Siden ved vi det # X ^ 2-x-1 # er en faktor, vi kan bruge polynomial long division til at finde ud af resten og omskrive ligningen som sådan:

# (X ^ 2-x-1) (x ^ 2-3x-1) = 0 #

Vi har allerede regnet ud, når den venstre faktor er lig med nul, så vi ser nu til højre. Vi kan løse kvadratisk ved hjælp af den kvadratiske formel for at få:

# X = (3 + -sqrt13) / 2 #