Hvordan konverterer du r = 1 / (4 - costheta) til kartesisk form?

Svar:

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Forklaring:

Hey, Socratic: Er det virkelig nødvendigt at fortælle os, at dette blev spurgt for 9 minutter siden? Jeg kan ikke lide at blive løjet til. Fortæl os det blev spurgt for to år siden, og ingen har kunnet gøre det endnu. Hvad sker der med de mistænkeligt identificerede spørgsmål, der stilles fra flere steder? For ikke at nævne Santa Cruz, USA? Der er næsten helt sikkert mere end en, selvom jeg hører den i Californien i godt. Troværdighed og omdømme er vigtige, især i et hjemmearbejde. Vild ikke folk. End rant.

Når man konverterer ligninger fra polære til rektangulære koordinater, er den brute kraft rektangulær til polær substitution

#r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #

#theta = tekst {arctan2} (y "/," x) quad #

er sjældent den bedste tilgang. (Jeg indikerer hensigtsmæssigt den fire kvadrante invers tangent her, men lad os ikke omdirigeres.)

Ideelt set vil vi bruge polar til rektangulære substitutioner, #x = r cos theta #

# y = r sin theta #

# x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta = r ^ 2 #

Ok, lad os se på spørgsmålet.

# r = 1 / {4 - cos theta} #

Disse polære ligninger tillader generelt negativ # R #, men her er vi sikre på # R # er altid positiv.

#r (4 - cos theta) = 1 #

Disse tror jeg er ellipser, som ikke rigtig betyder noget, men giver os en ide om, hvad vi håber, den rektangulære form skal se ud. Vi ønsker at tilstræbe noget uden firkantede rødder eller arktangenter # R = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} # har firkantede rødder, men #rcos theta = x # gør det ikke, så vi udvider.

# 4r - rcos theta = 1 #

Nu erstatter vi bare; vi gør det i trin.

# 4r -x = 1 #

# 4r = x + 1 #

Lad os firkantet nu. Vi ved #R> 0. #

# 16 r ^ 2 = (x + 1) ^ 2 #

# 16 (x ^ 2 + y ^ 2) = (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 + 2x + 1 #

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Dette er en smuk cirkelformet ellipse. (En mindre konstant end #4# i originalen ville give en mere excentrisk ellipse.) Vi kunne færdiggøre torget for at sætte det i standardform, men lad os forlade det her.