Hvorfor kan vi ikke integrere x ^ x?

Svar:

Vi har ingen regel for det.

Forklaring:

I integraler har vi standardregler. Anti-kæden regel, anti-produkt regel, anti-magt regel, og så videre. Men vi har ikke en til en funktion, der har en #x# i både basen og strømmen. Vi kan bare tage det afledte af det, men det er umuligt at forsøge at integrere det på grund af manglende regler, som det ville fungere med.

Hvis du åbner Desmos Graphing Calculator, kan du prøve at tilslutte

# int_0 ^ x a ^ ada #

og det vil grafere det helt fint. Men hvis du forsøger at bruge anti-power regel eller anti-exponent regel til at tegne imod det, vil du se det mislykkes. Da jeg forsøgte at finde den (som jeg stadig arbejder på), var mit første skridt at få det væk fra denne formular og til følgende:

# Inte ^ (XLN (x)) dx #

Dette giver os i det væsentlige mulighed for at bruge regnsreglerne lidt bedre. Men selv når du bruger Integration by Parts, slipper du faktisk helt af integreret. Derfor får du ikke en funktion til at bestemme det.

Men som altid i Math er det sjovt at eksperimentere.Så gå videre og prøv, men ikke for lang eller hårdt, du bliver suget ind i dette kaninhul.

Svar:

Se nedenunder.

Forklaring:

#y = x ^ x # kan integreres. For eksempel

# int_0 ^ 1 x ^ x dx = 0.783430510712135 … #

En anden ting er at have nu en dag, en funktion #F (x) # som repræsenterer i lukket form, den primitive for # X ^ x # eller med andre ord, sådan at

# d / (dx) f (x) = x ^ x #

Hvis dette var en funktion af fælles brug i tekniske-videnskabelige problemer, ville vi helt sikkert have opdaget et differentieret navn og symbol til at manipulere det. Ligesom Lambert-funktionen defineret som

#W (x) = x e ^ x #

Svar:

Se nedenfor.

Forklaring:

Som Cesareo har angivet (uden at sige), er der noget tvetydigt i "vi kan ikke integrere".

Funktionen #f (x) = x ^ x # er kontinuerlig på # (0, oo) #

og på # 0, oo) # hvis vi laver #F (0) = 1 #, så lad os gøre det. Derfor er det endelige integral

# int_a ^ b x ^ x dx # eksisterer for alle # 0 <= a <= b #

Desuden fortæller Calulus grundlæggende sætning os, at funktionen # int_0 ^ x t ^ t dt # har derivat # X ^ x # til #x> = 0 #

Hvad vi ikke kan gøre, er at udtrykke denne funktion i en fin, endelig, lukket form for algebraiske udtryk (eller endda godt ved transcendentale funktioner).

Der er mange ting i matematik, der ikke kan udtrykkes, undtagen i en form, der muliggør successivt bedre tilnærmelser.

For eksempel:

Nummeret, hvis firkant er #2# kan ikke udtrykkes i decimal eller fraktioneret form ved anvendelse af et begrænset udtryk. Så vi giver det et symbol, # Sqrt2 # og tilnærmet det til ethvert ønsket niveau af nøjagtighed.

Forholdet mellem omkredsen og en cirkels diameter kan ikke udtrykkes endeligt ved hjælp af en endelig algebraisk kombination af hele tal, så vi giver det et navn, # Pi # og tilnærmet det til ethvert ønsket niveau af nøjagtighed.

Løsningen til # x = cosx # kan også tilnærmes til en hvilken som helst ønsket grad af nøjagtighed, men kan ikke udtrykkes endeligt. Dette nummer er måske ikke vigtigt nok til at få et navn.

Som Cesareo har sagt, hvis integralet af # X ^ x # havde mange ansøgninger, matematikere ville vedtage et navn til det.

Men beregninger vil stadig kræve uendelig tilnærmelse.